П’ять Платонихських багатогранників, Їх 13 Архімедевих Свододзеркал, І Все Це Є

Точно п'ять, і ні більше

Платонова фігура — це опукла полігонна багатогранник, побудований з одного типу регулярного многокутника, із тією ж кількістю граней, що зустрічаються в кожній вершині. Їх п'ять: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр, і ця кількість не є випадковістю смаку; вона випливає безпосередньо з простої аргументації суми кутів. У кожній вершині сума внутрішніх кутів граней, що там зустрічаються, має бути строго менше 360°, або тверде тіло не може зігнутися (точно 360° дає плоску вкладену структуру, а не 3D форму). Оскільки внутрішній кут регулярного багатокутника зростає з кількістю його сторін, лише трикутники (60° кожен), квадрати (90°) і п'ятикутники (108°) залишають достатньо кутового простору для комбінування — шестикутники та інші мають більше 360° при трьох або більше вершинах, що закриває всі інші можливості.

3 трикутники/вершину (180°) → тетраедр (4 грані) 4 трикутники/вершину (240°) → октаедр (8 граней) 5 трикутників/вершину (300°) → ікосаедр (20 граней) 3 квадрати/вершину (270°) → куб (6 граней) 3 п'ятикутники/вершину (324°) → додекаедр (12 граней) Евклід довів цей закриття в останній книзі Елементів близько 300 року до н.е., і це один із найчистіших результатів обмеження на кінці в усій математиці: суворий глобальний ліміт кількості таких твердих тіл вимагається лише локальним кутовим обмеженням у кожній вершині.

3 triangles/vertex (180°)  → tetrahedron   (4 faces)
4 triangles/vertex (240°)  → octahedron    (8 faces)
5 triangles/vertex (300°)  → icosahedron   (20 faces)
3 squares/vertex   (270°)  → cube          (6 faces)
3 pentagons/vertex (324°)  → dodecahedron  (12 faces)

Формула Ейлера: інваріант, що витримує спотворення

Кожна з цих п'яти та кожне загальне опукле поліедроїд відповідає формулі Ейлера, опублікованій Леонхардом Ейлером у 1758 році: кількість вершин мінус кількість ребер плюс кількість граней завжди дорівнює 2.

V - E + F = 2 тетраедр: 4 - 6 + 4 = 2 куб: 8 - 12 + 6 = 2ноктаедр: 6 - 12 + 8 = 2 dводекаедр: 20 - 30 + 12 = 2 ікосаедр: 12 - 30 + 20 = 2 Цей інваріант є топологічним, а не геометричним — він справедливий і для неправильного, нерегулярного опуклого поліедроїда, і для ідеальної платонової фігури, оскільки це фактично твердження про топологію сфери (V - E + F = 2 є характеристикою Ейлера будь-якої поверхні з топологією сфери), а не про кути або довжини ребер. Він не спрацьовує, передбачувано, для фігур з дірками: поліедроїд у формі тора дає V - E + F = 0, і формула узагальнюється до V - E + F = 2 - 2g для поверхні з залишковим коефіцієнтом g з g дірками.

V - E + F = 2

tetrahedron:   4  -  6 + 4  = 2
cube:          8  - 12 + 6  = 2
octahedron:    6  - 12 + 8  = 2
dodecahedron: 20  - 30 + 12 = 2
icosahedron:  12  - 30 + 20 = 2

Двоїстість: куб і октаедр – це одна й та сама ідея всередині та зовні

Кожна платонівська фігура має двійника: розмістіть вершину в центрі кожної грані та з’єднайте вершини, чиї оригінальні грані розділяли ребро, і ви отримаєте іншу платонівську фігуру з заміненими кількістю вершин і граней. Куб (6 граней, 8 вершин) є двійником октаедра (8 граней, 6 вершин); додекаедр (12 граней, 20 вершин) є двійником ікосаедра (20 граней, 12 вершин); тетраедр є самодвійним (4 грані, 4 вершини — двійник самого себе). Двоїстість зберігає кількість ребер точно (усі п’ять мають E незмінною під двоїстістю) і міняє V та F, що й пояснює, чому формула Ейлера, яка є симетричною щодо цього обміну плюс константу, автоматично справедлива для обох членів кожної пари двійників.

Архімедські тверді тіла: розслаблення 'одного типу полігону'

Зніміть обмеження, що кожне ребро є однаковим регулярним багатокутником, але збережіть те, що кожна вершина має однаковий вигляд з іншими вершинами (перехідність вершин) та що кожне ребро є регулярним багатокутником, і ви отримаєте 13 архімедських твердих тіл — приписаних Архімеду, хоча його оригінальний текст втрачено, а список виживає завдяки пізнішим реконструкціям, зокрема Кеплера в 1619 році. Багато з них виникають шляхом відсікання: обрізання кутів платонового твердого тіла. Відсікання восьми кутів куба перетворює кожну квадратну грань на вісімку, а кожен видалений кут — на новий трикутник, утворюючи відсічений куб (8 трикутників + 6 вісімки). Відсікання кожного кута ікосаедра утворює відсічений ікосаедр — 12 п'ятигранників та 20 шестигранників — форма класичної футбольної м’яча, а геометрично — форми молекули буклерену C60.

Групи симетрії та чому для обертання 3D-фігурам потрібен інший інструмент

Кожна платонова фігура має групу кінцених симетрій — 12 обертань тетраедра, 24 (куб/восьмигранна) завдяки спільній групі симетрії через їхню взаємозв’язність як дуалів, та 60 для додекаедра/ікосаедра. Проектування обертальної 3D-фігури на плоску поверхню означає проекцію обернених координат вершин 3D-фігури в 2D, і виконання цієї ротації за допомогою простих (x,y,z) кутів Ейлера призводить до «заклинення гвинта» — конфігурації, коли дві з трьох осей обертання вирівнюються, що призводить до втрати ступеня свободи — тому більш плавні інтерактивні 3D-інструменти використовують матриці або кватерніони для внутрішньої роботи навіть для таких візуально простих завдань, як «перетягувати, щоб повернути фігуру».

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Polyhedra Explorer і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.