К-роздільне симетричне обертання: один рух, відображений у калейдоскоп

Об’єктивність обертальної симетрії

Форма має k-кратну обертальну симетрію, якщо обернення її на 360°/k навколо фіксованої центру залишає її без змін. Квадрат має 4-кратну симетрію (обертання на 90° переносить його на себе), морська зірка зазвичай має 5-кратну, сніжинка – 6-кратну, а коло – нескінченну, оскільки будь-яке обертання залишає його без змін. Інструмент k-кратної обертальної симетрії на цьому сайті використовує цю ідею та перетворює її на інструмент малювання: намалюйте один штрих, і програмне забезпечення автоматично відображає його навколо k рівномірно розташованих осей обертання, таким чином розмитий, асиметричний начерк перетворюється на калейдоскопічний дизайн з точною симетрією, яку неможливо намалювати вручну лише за допомогою руки.

Матриця обертання для кожної копії

Кожна з k копій генерується шляхом повторного застосування однієї й тієї ж 2D матриці обертання до кожного пункту початкового штриха, обертаючи на кут 2π/k при кожному обертанні навколо обраного центру:

для копії j = 0 .. k-1: theta = j * (2*pi / k) x' = cx + (x - cx)*cos(theta) - (y - cy)*sin(theta) y' = cy + (x - cx)*sin(theta) + (y - cy)*cos(theta) # (cx, cy) = центр симетрії Оскільки кожна копія генерується з тих самих початкових точок за допомогою однієї й тієї ж фіксованої матриці обертання, об’єднання всіх k копій є, за конструкцією, інваріантним до обертання на 2π/k — визначення k-кратної симетрії автоматично виконується, не оцінюючись. Додавання відображення через кожну вісь обертання поверх матриці обертання покращує малюнок з чистої ротаційної симетрії (циклічна група C_k) до повної діаhedralної симетрії (група D_k, порядок 2k), що виробляє більшість іграшок-калейдоскопів — кожна відображена копія обертається на всі k позиції.

for copy j = 0 .. k-1:
    theta = j * (2*pi / k)
    x' = cx + (x - cx)*cos(theta) - (y - cy)*sin(theta)
    y' = cy + (x - cx)*sin(theta) + (y - cy)*cos(theta)
    # (cx, cy) = centre of symmetry

Розташування цього в паперових групах та групах симетрії

Математично, k-кратне обертання навколо однієї фіксованої точки є групою симетрії – візерунок повторюється навколо одного центру, але не укладається в нескінченну площину. Розширте цю ідею так, щоб візерунок також повторювався перекладанням у двох незалежних напрямках, і ви отримаєте групу паперових груп, існує 17 таких у евклідовій площині, цей факт доведено суворо в 1891 році Євгафом Федоровим. Зі striking обмеженням цієї класифікації – теорема кристалографічної обмеженості, періодичні паперові візерунки можуть мати лише 1, 2, 3, 4 або 6-кратне обертання – будь-яка інша симетрія k ≥ 7 заборонена математично, якщо візерунок також повинен укладатись в площину перекладанням, оскільки ці кути обертання не узгоджуються з жодною решіткою перекладів.

Це обмеження саме тому Penrose-візерунки (які показують 5-кратну та 10-кратну симетрію) апериорні – вони досягають симетрії, яку заборює кристалографічне обмеження для періодичних плиток, точно тим, що відмовляються від суворої періодичності. Інструмент k-кратного обертання на цій сторінці оминає все це обмеження, оскільки це симетрія навколо однієї фіксованої точки без вимоги будь-якого перекладання, тому будь-яке значення k, включаючи 5, 7 або 11, є допустимим.

Чому природа (майже) віддає перевагу певним k

Біологічна радіальна симетрія схиляється до групування навколо конкретних малих чисел з міркувань структурності, що не мають нічого спільного з кристалографією: 5-кратна симетрія (пентасиметрія) домінує у морських зірчастих тваринах – морських ведмедів та морських ельфів, оскільки виникає з білатерально симетричного личинкового тіла, яке перетворюється на п’яколову дорослу форму; 6-кратна симетрія домінує у сніжинках, оскільки шестигранна кристалічна сітка льоду, що підтримується геометрією зв'язків водню між молекулами води, робить 6-кратне розгалуження енергетично переважним під час зростання сніжинки; квіти часто демонструють симетрію 4, 5 або 6 разів, пов’язану з розташуванням пелюсток у кільцях, що визначається їхнім власним розвитковим генетичним кодом. Жодна з них не є обмеженою груповою структурою шпалеток, оскільки це кінцеві, неперіодичні об’єкти – кожен з них є своїм власною симетричною точкою, як і інструмент на цій сторінці.

Інтерференція та моїр

Коли два патерни з K-кратним симетричним розташуванням, але з різними значеннями K, або з однаковим значенням K, але в різних масштабах або при поворотах, перекриваються один на одного, це створює моїр – візерунок інтерференції з власною, часто нижчою за порядком, симетрією, якої жоден з оригінальних патернів не мав. Це той самий фізичний феномен, що лежить в основі моїрових крапок у друкарстві та текстилі, і тому, якщо на одній канві застосувати кілька симметричних ліній з різними значеннями K, це може дати результати, які значно складніші, ніж будь-який з цих значень окремо.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте K-Fold Rotational Symmetry і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.