Pięć Brył Platonowskich, Ich Trzynaście Bratów Archemedianych i To Wszystko, Co Istnieje

Dokładnie pięć, i nic więcej

Ciołkiem jest wypukła wielościan zbudowany z jednego rodzaju regularnego wielokąta, z tym samym licznem ścianek spotykających się w każdym wierzchołku. Istnieje ich dokładnie pięć – tetraedr, sześcian, ośmiokąt, dwudziestościan i dwunastościennik, a ta liczba nie jest przypadkiem wyboru; wynika bezpośrednio z prostego argumentu o sumie kątów. W każdym wierzchołku suma wewnętrznych kątów ścianek spotykających się tam musi być ściśle mniejsza niż 360°, w przeciwnym razie powierzchnia nie da się złożyć w trójwymiarową bryłę (dokładnie 360° daje płaskie ułożenie, a nie kształt 3D). Ponieważ kąt wewnętrzny regularnego wielokąta rośnie wraz z liczbą jego boków, tylko trójkąty (po 60° każdy), kwadraty (90°) i pięciościany (108°) oferują wystarczająco dużo miejsca kątowego do połączenia – heksatomy i inne kształty przekraczają 360° już przy trzech spotykających się ściankach, co wyklucza wszystkie pozostałe możliwości.

3 trójkąty/wierzchołek (180°) → tetraedr (4 ścianki) 4 trójkąty/wierzchołek (240°) → ośmiokąt (8 ścianek) 5 trójkątów/wierzchołek (300°) → dwunastościennik (20 ścianek) 3 kwadraty/wierzchołek (270°) → sześcian (6 ścianek) 3 pięciościany/wierzchołek (324°) → dwudziestościan (12 ścianek) Euclid udowodnił to ograniczenie w ostatniej księdze Elementów około 300 p.n.e., i jest to jeden z czystszych wyników dotyczących skończoności w całej matematyce: lokalne ograniczenie kątowe w jednym wierzchołku wymusza twardy globalny limit liczby takich brył, które mogą istnieć.

3 triangles/vertex (180°)  → tetrahedron   (4 faces)
4 triangles/vertex (240°)  → octahedron    (8 faces)
5 triangles/vertex (300°)  → icosahedron   (20 faces)
3 squares/vertex   (270°)  → cube          (6 faces)
3 pentagons/vertex (324°)  → dodecahedron  (12 faces)

Wzór Eulera: izotropia przetrwalna w zniekształceniach

Każde z tych pięciu brył, a także każdy wypukły wielobącznik ogólnie, przestrzega wzoru Eulera na bryłę, opublikowanego przez Leonharda Eulera w 1758 roku: liczba wierzchołków pomniejszona o liczbę krawędzi plus liczba ścian zawsze równa się 2.

V - E + F = 2 tetraedr: 4 - 6 + 4 = 2 kwadrat: 8 - 12 + 6 = 2 oktaedr: 6 - 12 + 8 = 2 dodekaedr: 20 - 30 + 12 = 2 izokwadr: 12 - 30 + 20 = 2 Ta izotropia jest topologiczna, a nie geometryczna — obowiązuje równo dla zdeformowanego, nieregularnego wypukłego wielobącznika, jak i dla idealnej bryły Platonicznej, ponieważ jest to w rzeczywistości stwierdzenie o topologii sfery (V - E + F = 2 jest cechą Eulera każdej powierzchni o topologii sfery) a nie o kątach ani długościach krawędzi. Nie działa przewidywalnie dla kształtów z otworami: wielobącznik w kształcie torusa daje V - E + F = 0, a wzór uogólnia się na V - E + F = 2 - 2g dla powierzchni o genusie g z g dziurami.

V - E + F = 2

tetrahedron:   4  -  6 + 4  = 2
cube:          8  - 12 + 6  = 2
octahedron:    6  - 12 + 8  = 2
dodecahedron: 20  - 30 + 12 = 2
icosahedron:  12  - 30 + 20 = 2

Dwójność: kula i ośmiokąt są tym samym pomysłem od wewnątrz do zewnątrz

Każde ciało złotej wiarości posiada parę bliźniaczą: umieść wierzchołek u środka każdej ściany i połącz wierzchołki, których oryginalne ściany miały wspólny brzeg, a otrzymasz drugą ciałkę złotej wiarości z zamienionymi liczbami wierzchołków i ścian. Kula (6 ścian, 8 wierzchołków) jest parą bliźniaczą ośmiokąta (8 ścian, 6 wierzchołków); dodekahedron (12 ścian, 20 wierzchołków) jest parą bliźniaczą zwięzłą (20 ścian, 12 wierzchołków); tetraedr jest samoparem (4 ściany, 4 wierzchołki — parą bliźniaczą zwięzłą). Dwójność zachowuje liczbę krawędzi dokładnie (wszystkie pięć ma E niezmienną pod wpływem dwójności) i zamienia V i F, co jest dokładnie tym, dlaczego wzór Eulera, będący symetryczny w tym zamianie plus stałą, obowiązuje automatycznie dla obu członów każdej pary bliźniaczej.

Ciała wypukłe Archimedesa: odciążenie ograniczenia "jednego rodzaju wielokąt"

Zrezygnuj z wymogu, aby każdy bok był tym samym regularnym wielokątem, ale zachowaj identyczność każdego wierzchołka z każdym innym wierzchołkiem (przejrzystość wierzchołków) oraz regularne boki, a otrzymasz 13 ciał wypukłych Archimedea – przypisanych do Archimedesa, choć jego oryginalny tekst jest utracony i lista przetrwała dzięki późniejszym rekonstrukcjom, zwłaszcza Keplerowi z 1619 roku. Wiele z nich powstaje przez przycinanie: obcięcie wierzchołków stożka foremnego. Obcięcie ośmiu narożników sześcianu przekształca każdy kwadratowy bok w ósemkę, a każdy usunięty narożnik w nowy trójkąt, co daje ciało wypukłe Archimedea obitego (8 trójkątów + 6 ósemek). Obcięcie każdego narożka dwunastomianu tworzy ciało wypukłe Archimedea obitego – 12 pięcioboków i 20 heksagonów – kształt klasycznego futbolu i, geometrycznie, kształt cząsteczki buckminsterfullerenu C60.

Grupy symetrii i dlaczego do obrotów w 3D potrzebne są inne narzędzia

Każda bryła z Wielkich Stożek posiada skończoną grupę symetrii rotacji — 12 dla tetraedru, 24 dla kostki/oktaedru (dzięki czemu dzielą tę samą grupę symetrii, ponieważ są sobie dualne), i 60 dla pary stożka równym/wielkiego sześcianu. Projektowanie obrotowego modelu 3D na płaskiej powierzchni oznacza projektowanie połączonych współrzędnych wierzchołków po obrocie do 2D, a wykonywanie tego obrotu za pomocą prostych kątów Eulera (x,y,z) prowadzi do zablokowania gimbala — konfiguracji, w której dwie osie rotacji są ustawione prostopadle do siebie, co powoduje utratę jednego stopnia swobody — dlatego narzędzia 3D o większej interaktywności wykorzystują macierze obrotu lub kwataryany wewnętrznie nawet dla tak prostego wizualnie zadania jak 'przeciągnij i obracaj kształt'.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Polyhedra Explorer i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.