Менжерівська піна: Форма з нульовим об’ємом і нескінченною площею поверхні

Одна вимога, що застосовується рекурсивно

Кубична піна Менжера, вперше описана австрійським математиком Карлом Менжером у 1926 році, починається з одного твердого куба та застосовує одну рекурсивну правило різання: розділити куб на сітку 3x3x3 з 27 рівними підкубами, видалити підкуб у центрі всього куба разом із шістьма підкубами, розташованими навколо кожної грані, і зберегти залишальні 20 кутових та крайніх підкуби. Потім застосуйте той самий рівень до кожного з цих виживших, і повторюйте це назавжди.

level 0: 1 solid cube
level 1: 27 sub-cubes → remove 1 centre + 6 face-centres → keep 20
level 2: each of those 20 repeats the same 27-minus-7 rule → 400 cubes
level n: 20^n cubes remain, each of side length 3^-n × the original

Убування об’єму, нескінченна площа поверхні

Кожен рівень рекурсії зберігає 20 кубічних одиниць попереднього рівня з 27, тому частка збереженого об’єму множиться на 20/27 на кожному рівні. Ця частка менша за 1, отже, коли рекурсія продовжується без обмежень, загальний об’єм спіралі зменшується до нуля — в математичному пределі, спіраль Менджера з нескінченною рекурсією не має об’єму. Водночас кожен крок поділу відкриває нові внутрішні площини вздовж усіх тунелів, які вириваються, тому загальна площа поверхні зростає без обмежень на кожному рівні. Спіраль Менджера є тривимірним утіленням форми, яка одночасно нічого, в об’ємі, і нескінченна, в площі поверхні.

Д fractional dimension

Звичайні тверді тіла мають цілісну розмірність: лінія має розмірність 1, заповнена площа квадрата – 2, а заповнений куб – 3. Кілька шарів мають розмірність між цими значеннями, і їхню гаусівську розмірність можна обчислити безпосередньо з правил рекурсивного побудови: на кожному етапі довжини зменшуються в 3 рази, а генерується 20 самосхожих копій попереднього етапу, і для самосходового фракталу, побудованого таким чином, розмірність дорівнює:

D = log(N) / log(1/s) N = кількість самосхожих копій на кроці = 20 s = лінійний масштабний коефіцієнт, що застосовується до кожної копії = 1/3 D = log(20) / log(3) ≈ 2.7268 Розмірність приблизно 2,73 говорить нам про щось конкретне: піна більш суттєва, ніж будь-яка площина (розмірність 2), але ніколи не заповнює простір так, як куб (розмірність 3) – це форма, складність якої справді знаходиться між поверхнею та твердим тілом, не метафорично, а за допомогою точного вимірювального показника, що визначає розмірність фракталу.

D = log(N) / log(1/s)
   N = number of self-similar copies per step = 20
   s = the linear scale factor applied to each copy = 1/3
D = log(20) / log(3) ≈ 2.7268

2D та 1D родичі

Однакова ідея вирізання в одній вимірності, застосована до сірпзикового килима, дає можливість отримати шахову фігуру Коха: розділити квадрат на сітку 3x3 з 9 підквадратами, видалити центральний та рекурсивно обробити залишки 8. Її розмірність становить log(8)/log(3) ≈ 1.8928. На один вимір далі, застосовуючи аналогічне правило видалення до відрізка лінії, дає множину Кантора, розмірність якої становить log(2)/log(3) ≈ 0.6309. Сірпзиковий килим, шахова фігура Коха та множина Кантора утворюють одну родину в трьох, двох і одному вимірах, кожна з яких генерується шляхом видалення тієї ж відносної структури та має розмірність, яку можна обчислити за допомогою формули log(N)/log(1/s) для однакових значень.

Рендеринг його: проходження лучів з функцією відстані

Використання явного складання сітки для М’єрнгера пірольки за кілька рівнів рекурсії є непрактичним — само по собі 5 рівня має 20^5, тобто більше трьох мільйонів окремих кубічних фрагментів — тому його рендерують так само, як і іншу фрактальну геометрію на цьому сайті, шляхом проходження лучів з функцією відстані. В кожній точці вибірки алгоритм оцінки відстані згортає координати точки назад через тест куба та перехрестя на кожному рівні рекурсії до обраного максимального, ніколи не матеріалізуючи геометрію як явні трикутники, і камера рухається крок за кроком за допомогою цієї оцінки відстані, поки вона не збіжиться на поверхню. Це дозволяє симуляції підвищувати рівень рекурсії до п’яти або шести та залишатися інтерактивною, що неможливо зробити за допомогою підходу з явною сіткою з такою деталізацією.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Menger Sponge і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.