Pęczek Mengerza: Postać Z Zerową Objętością i Nieograniczoną Powierzchnią

Jedno reguły, stosowane rekurencyjnie

Mengerowa gąbka, opisaną po raz pierwszy przez austriackiego matematyka Karla Menger w 1926 roku, zaczyna się od pojedynczej, stałej kostki i stosuje jedną regułę rekurencyjnego wycinania: kostkę dzieli się na siatkę 3x3x3 składającą się z 27 równych podkostek, usuwa się podkostkę znajdującą się w samym centrum całej kostki wraz z sześcioma podkostkami otaczającymi każdą ścianę, a pozostałe 20 podkratek narożnych i brzegowych zostają. Następnie ta sama reguła jest stosowana do każdej z tych 20 przetrwałych podkratek i powtarzana w nieskończoność.

level 0: 1 solid cube
level 1: 27 sub-cubes → remove 1 centre + 6 face-centres → keep 20
level 2: each of those 20 repeats the same 27-minus-7 rule → 400 cubes
level n: 20^n cubes remain, each of side length 3^-n × the original

Marnąca się objętość, nieskończona powierzchnia

Każdy poziom rekursji zachowuje 20 z 27 pod-sześcianów poprzedniego poziomu, więc ułamek objętości zachowanej mnoży się przez 20/27 na każdym poziomie. Ten ułamek jest mniejszy niż 1, więc w miarę nieograniczonego kontynuowania rekurencji objętość gąbki Menger zmniejsza się ku zeru — w matematycznym sensie granicy, nieskończenie skomplikowana gąbka Menger nie ma żadnej objętości. Jednocześnie każdy etap podziału ujawnia nowe wewnętrzne ściany w każdym wykopanym tunelu, więc całkowita powierzchnia rośnie bez ograniczeń na każdym poziomie. Gąbka Menger jest trójwymiarowym ucieleśnieniem kształtu, który jednocześnie jest niczym, co dotyczy objętości, i nieskończonym, co dotyczy powierzchni.

Działanie fraktalne

Zwykłe ciała stałe mają wymiar całkowitą: linia ma wymiar 1, wypełniony kwadrat ma wymiar 2, a wypełniona skała ma wymiar 3. Menger Spongę można umieścić pomiędzy tymi wartościami, a jej wymiar Hausdorffa można obliczyć bezpośrednio z zasady rekurencyjnej konstrukcji: w każdym kroku długości są zmniejszane o czynnik 3 i produkowanych jest 20 samopodobnych kopii poprzedniego etapu, a dla samopodobieństwa fraktala zbudowanego w ten sposób wymiar wynosi

D = log(N) / log(1/s) N = liczba samopodobnych kopii na kroku = 20 s = czynnik skalowania liniowego zastosowany do każdej kopii = 1/3 D = log(20) / log(3) ≈ 2,7268 Wymiar około 2,73 mówi coś konkretnego: spongia jest bardziej solidna niż jakakolwiek powierzchnia płaska (wymiar 2) ale nigdy nie wypełnia przestrzeni tak, jak robi to ciało stałe w kształcie sześcianu (wymiar 3) – jest to kształt, którego złożoność naprawdę mieści się pomiędzy powierzchnią a ciałem stałym, nie dosłownie, ale poprzez dokładny pomiar skalowania, który definiuje wymiar fraktala.

D = log(N) / log(1/s)
   N = number of self-similar copies per step = 20
   s = the linear scale factor applied to each copy = 1/3
D = log(20) / log(3) ≈ 2.7268

Rodzeństwo dwuwymiarowe i jednowymiarowe

Ta sama metoda wycinania, zastosowana w jednym wymiarze, daje wykładnicę Sierpinskiego: dzielimy kwadrat na siatkę 9 mniejszych kwadratów 3x3, usuwamy środkowy i rekursywnie operujemy na pozostałych 8. Jej wymiar wynosi log(8)/log(3) ≈ 1,8928. Jednocześnie, w jednym wymiarze dalej, stosując analogiczną regułę usuwania do odcinka linii, otrzymujemy zbiór Cantora, którego wymiar wynosi log(2)/log(3) ≈ 0,6309. Manganowy grzyb, wykładnicę Sierpinskiego i zbiór Cantora można traktować jako wspólne rodzinne elementy w trzech, dwóch i jednym wymiarach, każdy generowany przez usuwanie tej samej względnej struktury i każdy posiadający wymiar obliczany ze wzoru log(N)/log(1/s).

Renderowanie: promieniowanie z użyciem funkcji odległości wskazanej

Budowa modelu siatki dla spongy Menger, przekraczającej kilka poziomów rekursji, jest niepraktyczna – sam poziom 5 ma ponad 20^5, czyli ponad trzy miliony, indywidualnych elementów sześcianu – dlatego jest ona renderowana w ten sam sposób jak inne geometrie fraktalne na tej stronie, poprzez promieniowanie z użyciem funkcji odległości wskazanej. W każdym punkcie próbki procedura szacowania odległości składa współrzędne punktu z powrotem przez test usuwania sześcianów i krzyżów na każdym poziomie rekursji, aż do wybranego maksymalnego, bez tworzenia geometrycznie trójkątów – a kamera porusza się krok po kroku wzdłuż promienia, wykorzystując to oszacowanie odległości, aż do zbiegnięcia na powierzchnię. Pozwala to symulacji ustawić poziom rekursji na pięć lub sześć i zachować interaktywność, coś czego nigdy nie byłoby w stanie osiągnąć podejście oparte na jawnej siatce przy tym poziomie szczegółowości.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Menger Sponge i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.