Потужна операція Мандельброїда: Як було нарешті знайдено 3D-мандалову множину

Розширення множини Мандельброта в три виміри

Класична множина Мандельброта побудована на основі однієї правила, застосованого до комплексних чисел: повторно квадрати точку z та додайте початкову точку c, і спостерігайте, чи залишається послідовність обмеженою або виходить за межі до нескінченності. Це правило природно існує у двох вимірах, оскільки комплексні числа є двовимірною числовою системою. Не існує тривимірного числового ряду з такими ж чистими алгебраїчними властивостями, тому прямого 3D аналогу не існує просто шляхом розширення – що й пояснює, чому робочу 3D версію, Мандельбула, не було знайдено до 2009 року, її відкрив Деніел Вайт та Пол Найландер після багатьох років пошуків фрактальною спільнотою.

Триплексні числа та узагальнений показник степені

Їх рішення розглядає 3D точку як триплексне число сферичної форми та визначає узагальнену операцію степенявання на ній, яка зводиться до звичайного складного квадратування при обмеженні 2D зрізом. Для точки з кулястого радіуса r, полярного кута θ та орієнтованого кута φ, піднесення її до n-го степеня масштабує радіус до r^n і множить обидва кути на n, потім перетворює назад у декартові координати:

Триплексне степенявання (сферична форма):

r' = r^n θ' = n × θ φ' = n × φ тоді: z_next = (триплексне степенявання z) + c, ітерація відбувається точно так само, як і 2D Мандельброта з z → z² + c При n = 2 ця операція не є ідентичною до кватерніонів або інших історично спробуваних 3D розширень — вона була спеціально сконструйована для виробництва візуально насиченої, бульбоподібної, самосхожої структури, а стандартний, найбільш впізнаваний Мандельбуль використовує n = 8, який дає виражені, органічні лоба, які часто зображуються.

triplex power (spherical form):
r' = r^n
θ' = n × θ
φ' = n × φ
then: z_next = (triplex power of z) + c,   iterated exactly like the 2D Mandelbrot's z → z² + c

Відображення його: оцінка відстаней, а не полігони

Немає способу безпосередньо створити сітку межі мандільбула – це нескінченно детальний фрактал із поверхнею, що не має простого багатокутних наближення – тому він відображається за допомогою проходження променів з оцінкою відстані та підписаної відстані замість малювання трикутників. Для кожного пікселя від камери випускається промінь, який повторно віддаляється пооверхню, що оцінено як відстань, і безпечно це робити, оскільки оцінка є нижньою межею: крок за цією величиною ніколи не перевищить поверхню. Для мандільбула ця оцінка відстані на піксель отримана аналітично з ітерації часу виходу:

de = 0.5 × log(r) × r / dr r = поточний урахований радіус |z| після ітеративного циклу dr = змінна похідна |z| накопичена разом із кожною ітерацією віддаліть промінь на величину de; повторіть, поки de менше за порогове значення (удар) або промінь виходить за межі Це той самий клас техніки, що й відстеження сфер, який використовується для відображення всіх інших аналітичних фракталів і неявних поверхонь на цьому сайті – він перетворює поверхню, визначену рівнянням, на зображення без необхідності знати форму поверхні заздалегідь.

de = 0.5 × log(r) × r / dr
   r  = current escaped radius |z| after the iteration loop
   dr = running derivative of |z| accumulated alongside each iteration
   step the ray forward by de; repeat until de is smaller than a threshold (hit) or the ray escapes

Що змінює слайдер потужності

Оскільки n безпосередньо масштабує швидкість росту радіуса та обох кутів на кожному кроці ітерації, зміна n впливає як на кількість лобових елементів навколо форми, так і на глибину повторення деталі поверхні перед тим, як вона розсіюється в нескінченність. Низькі значення n поблизу 2 створюють більш гладкі, округліші форми з меншою самоподібністю, що нагадує сферу; n = 8 виробляє знайомий багатолобовий куль; збільшення n ущільнює більше тонких лобових елементів і деталізацію поверхні, що повторюється, але це вимагає більшої кількості кроків радіального обчислення та більш вузького порогового значення відстані для чіткого розв’язання, оскільки поверхня стає локально гострішою відносно тієї ж кількості ітерацій.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Mandelbulb і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.