Карти проєкцій: Шість способів звести сферу і що за них платиться

Проблема, яку не може вирішити жодна плоска карта

Поверхня сфери не може бути розкладена на площину без спотворення — це сувора математична відповідь, а не обмеження, пов’язане з інженерією, що випливає з теореми Гессенського (1827) Гаусса: сфера має постійну позитивну кривизну, площина має нульову кривизну, і кривизна є внутрішньою властивістю, яку не можна змінити ні за допомогою розтягування, ні за допомогою згинання (без розриву). Кожна проекція карт є свідомим компромісом щодо того, яку властивість зберегти — площу, кут, відстань або напрямок, оскільки жодна проекція не може одночасно зберігати всі ці параметри.

Меркатор: кути зберігаються, площа не

У 1569 році Гердас Меркатор створив проекцію, яка є конформною — вона точно зберігає кути та місцеві форми, що робить її безцінною для навігації, оскільки пряма лінія, накреслена на карті Меркатора, є румб-лінією: шляхом постійної магнітної анотації, дозволяючи морякам тримати фіксовану курс протягом усього плавання. Вартість – спотворення площі, яке безмежно зростає до полюсів: Гренландія, приблизно розміром з Алжир (приблизно 2,2 мільйона км² проти 2,4 мільйонів км²), виглядає порівнянною з Африкою (30 мільйонів км²) на стандартній карті Меркатора. Антарктида, аналогічно, розтягується у смужку по всій нижній частині карти.

Равнопільські проєкції: форма деформується, а площа зберігається

Мollweide та інші рівнопільські проєкції роблять протилежний обмін: площа кожної області на карті пропорційна її справжній площі на глобусі, але це призводить до видимої деформації форм і кутів, особливо поблизу країв карти. Це робить рівнопільські проєкції правильним вибором, коли карта призначена для відображення кількості в регіонах — щільність населення, використання землі, розподіл ресурсів, де спотворені форми та кути на карті Меркатора призвели б до візуального введення в оману читача щодо відносного масштабу.

Стереографская и ортографическая: проецирование из точки

Обе эти проекции можно построить, используя простое геометрическое изображение: представьте источник света где-то вдоль оси сферы, отбрасывающий тень поверхности на плоский план. Стереографская проекция располагает свет в точке, непосредственно противоположной касательной плоскости, и является конформной — она точно сохраняет углы и удивительным образом отображает каждый круг на сфере либо в круг, либо в прямую линию на плоскости, свойство, используемое в комплексном анализе и кристаллиграфии. Ортографическая проекция вместо этого использует параллельные лучи от бесконечно удалённой точки, создавая внешний вид «фотографии глобуса из космоса» — реалистичный в центре, но сжимая регионы по краям, так как сфера отклоняется от зрителя быстрее там.

stereographic:   light source at the antipodal point  →  conformal, circles stay circles
orthographic:    light source at infinity                →  looks like a photo, edges compressed
azimuthal equidistant: distances from the center are exact →  used in the UN emblem
gnomonic:        light source at the sphere's center      →  every great circle becomes a straight line

Вибір проекції – це вибір про що брехати

Картографи іноді підсумовують це гострим правлінням: кожен плоский макет бреше, і єдиний вибір – з чиєю брехнею можна жити. Навігація хоче конформних (Меркатор, стереографічних); статистика та демографія хочуть рівномірної площі (Міввельд); діаграми відстаней від однієї точки хочуть епіциклічної; а планування польотів хоче гномічної. Немає проекції, яку картограф назвав би «найкращою» в цілому – лише найкращою для конкретного завдання, і вибір неправильного для роботи призвів до того, що Меркатор використовувався як навігаційне інструмент, суперечливо, за замовчуванням у класі протягом століття, тихо підсилюючи візуальну важливість країн високої широти.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Sphere Projections і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.