Вібрація струн: Як одне заграння може стати арфою гармонійних звуків

Рівняння за межами кожної гітарної струни

Натянута струна — гітарна струна, скрипкова струна, мотузка, що тремтить на одному кінці — дотримується одновимірної хвильової рівняння, одне з найстаріших і найбільш вивчених часткових диференціальних рівнянь у фізиці, спочатку отримане Жан-Альфонсом ді Кампмейстером у 1706 році:

∂²y/∂t² = c² ∂²y/∂x², y(x,t) = поперечний зсув струни в положенні x, час t T = натяг струни μ = лінійна густина маси (маса на одиницю довжини) c = швидкість хвилі вздовж струни, Жива демонстрація · заграйте струну та подивіться на стаціонарну хвилю● LIVE Натягнення струни (збільшення T) або використання легшої струни (зниження μ) обидва збільшують швидкість хвилі c, що саме пояснює, чому налаштування гітарної струни більш туго підвищує її висоту, і чому товсті, важкі басові струни на гітарі звучать нижче тонких верхніх струн при однаковому натягу та довжині.

∂²y/∂t²  =  c² · ∂²y/∂x²,     c = √(T / μ)

y(x,t) = transverse displacement of the string at position x, time t
T      = string tension
μ      = linear mass density (mass per unit length)
c      = wave speed along the string

Фіксовані кінці перетворюють хвилі, що подорожують, на стоячі хвилі

Струнко, закріплений з обох кінців, не може підтримувати будь-яку хвилю – лише ті, чиє зміщення змушено бути рівним нулю в обох кінцях у кожний час. Це обмеження дозволяє лише дискретну сім’ю форм, нормальні режими, кожен з яких складається з цілого числа півдовжин, що точно поміщаються між двома фіксованими кінцями:

f_n = n * (c / 2L) = n * f_1, L = довжина струну f_1 = фундаментальна частота (n=1) f_n = n-те гармонічне (овертон), ціле число разів більше, ніж f_1 Режим n=1 є фундаментальним: весь струн рухається вгору та вниз разом як одна довга дуга, без внутрішньої точки, що залишається нерухомою. Режим n=2 розділяє струн на дві дуги, які рухаються в протилежних напрямках, з однією нерухомою точкою точно посередині. Кожен режим має ноти – точки, які ніколи не рухаються – та антиноти – точки максимального зміщення – і n-те гармонічне завжди має рівно n-1 внутрішніх нот.

f_n = n · (c / 2L) = n · f_1,    n = 1, 2, 3, ...

L   = string length
f_1 = fundamental frequency (n=1)
f_n = the n-th harmonic (overtone), a whole-number multiple of f_1

Чому смикання струни виробляє всі гармоніки одночасно

Реальне смикання не викликає єдитного чистого режиму — воно викликає сукупність гармонік, кожна з власного амплітудного значення, що визначається точно, де і як порушено струну. Теорема Фур'є гарантує, що цей розклад завжди можливий: будь-яку форму, яку може прийняти струна, незалежно від того, наскільки нерегулярною вона є, можна записати як зважену суму чисто синусоїдальних нормальних мод. Смикання поблизу середини підкреслює фундаментальну та непарні гармоніки; смикання поблизу одного кінця приносить набагато більше високих гармонік, тому звук, відтворений близько до бриджа на гітарі, звучить яскравіше і тоншим — більш багатим на високочастотні компоненти, ніж той самий звук, відтворений над звукоприймачем.

Чому справжні струни згасають, і чому цей спад формує тембр

Ідеалізована хвильова рівняння без члена демпфування передбачає, що струн буде вібрувати назавжди після удару. Справжні струни безперервно втрачають енергію — через повітряний опір, внутрішній тертя, викликане згином струни, і шляхом випромінювання звуку крізь будь-який елемент, до якого прикріплена струна — і кожен гармонічний розпад затухає на власному рівні, зазвичай швидше для вищих гармонік. Ця нерівномірний спад є великою причиною того, чому тембр звучання після удару помітно змінюється: яскравий і складний відразу після удару, теплий і простий, коли першими згасають вищі гармоніки, залишаючи лише фундаментальний тон наприкінці.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте String Vibration і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.