Водяной Каток Лорренца: Чаша Хаоса, Которой Вы Можете Построить

Колесо, що відтворює модель погоди

У 1963 році Едвард Лоренц спростив модель конвекції в атмосфері до трьох закорельованих звичайних диференціальних рівнянь і виявив, майже випадково, що вони поводяться хаотично. Десять років потому Вілем Малкус та Лу Хоу побудували те, що можна тримати в руках, яке точно відповідає цим математичним правилам: кільце з чашок, кожна з яких має невеликий отвір у дні, встановлене навколо колеса, яке вільно обертається і нахилене так, щоб сила тяжіння могла його приводити в рух. Постійний потік води заливає чашку, яка зараз знаходиться зверху. Залежно від того, наскільки швидко вода надходить, колесо або стабілізується у фіксованому обертанні, або коливається, або робить щось, що зовсім не схоже на механізм.

In 1963 Edward Lorenz reduced a simplified model of atmospheric convection to three coupled ordinary differential equations and discovered, almost by accident, that they behave chaotically.

Від відер до рівнянь Лоренца

Кожне чаші збільшує масу від потоку, коли вони близькі до верху, та втрачає масу через свій витік у міру наповнення. Малкус і Ховард описали розподіл маси навколо кільця за допомогою його Фур'є коефіцієнтів і показали, що, якщо враховувати лише перший гармонічний, кутова швидкість ω та два перші коефіцієнти a та b відповідають трьом закорельованим рівнянням, які алгебраїчно ідентичні рівнянням Лоренца після зміни змінних та констант:

Малкус воданапір Лоренців система (1963) dω/dt = -Kω + (πgr/I)·a dx/dt = σ(y - x) da/dt = ωb - Ka dy/dt = x(ρ - z) - y db/dt = -ωa - Kb + q dz/dt = xy - βz ω → x a → y b → z потік води q відіграє роль числа Рейлі ρ; Це відповідність не є випадковим аналогією — це справжня ізоморфія між механічною системою та моделлю конвекції, тому воданапір є підручником фізичним демонстрацією Лоренців аттрактора: відкриття крану буквально відкриває число Рейлі, той самий параметр, що визначає наскільки жваво обтікається нагріта рідина.

Malkus waterwheel                    Lorenz system (1963)

dω/dt = −Kω + (πgr/I)·a         dx/dt = σ(y − x)
da/dt  = ωb − Ka                    dy/dt = x(ρ − z) − y
db/dt  = −ωa − Kb + q            dz/dt = xy − βz

ω ↔ x     a ↔ y     b ↔ z
inflow rate q plays the role of the Rayleigh number ρ

Три режими, один гвинт

Повертайте регулятор подальшого потоку від нуля і колесо проходить через три чітко розрізнені стани. При низькому подальшому потоці тертя домінує, і колесо просто залишається нерухомим або встановлюється під фіксованим кутом без обертання – чаші наповнюються та зливають у статичному, симетричному малюнку. Після першого критичного подальшого потоку ця симетрична ситуація стає нестабільною, і колесо обирає напрямок і обертається з постійною швидкістю, точно балансуючи гравітаційний момент від нерівномірного водозабору проти тертя. Після другого, вищого подальшого потоку це стабільне обертання також втрачає стабільність: колесо прискорюється, сповільнюється, іноді зупиняється та рухається в іншому напрямку, і воно ніколи не встановлюється у періодичний малюнок. Цей третій режим – хаотичний, і це те, що відтворює живий демо зразок (x, y, z) простору Лоренца — той самий дволокий, ніколи не повторюваний «перо-подібний» викривлювач, який називається дивною притягуючою силою.

Чутлива залежність, а не випадковість

Нічого в рівняннях водяного колеса не є випадковим – за заданих точних початкових умов його майбутнє повністю визначене. Але є чутливість до початкових умов: у хаотичному режимі дві ітерації, які розпочнуться з різниці в об’ємі чашок на величину, яку неможливо виміряти, експоненціально розходяться, подвоюючи свою відстань за часом масштабу, встановленим найбільшим ліapunov-чисельником системи. Тому прогнозування точно, коли колесо наступного разу перевернеться, стає неможливим на практиці протягом кількох разів цього подвоєння, хоча основні динамічні процеси повністю детерміновані та траєкторія ніколи не покидає обмежений, фрактал-структурований аттрактор. Це механічний предок власної метафори Лоррена для того ж явища в атмосфері – ефекту метелика.

Чому це має значення за межами іграшки

Водяне колесо знаходить своє місце в фізичних курсах, тому що воно перетворює абстрактну властивість погодного моделювання – екзотичну на вигляд – у щось, що можна спостерігати за обертанням на столі. За допомогою пристрою, простого для збудови з велосипедного колеса та чашок з паперу, воно демонструє, що детермінованість і непередбачуваність не є протилежностями – система без випадковості ніде в своїх правилах все ще може ефективно бути непередбачуваною на тривалий термін, що відповідає ситуації, з якої стикаються метеорологи, коли вони намагаються розширити прогнози погоди більше ніж на кілька тижнів вперед.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Lorenz Waterwheel і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.