Модель Ізінга: Як решітка монет навчається погоджуватися

Сітка спінів, які просто хочуть узгодити свою поведінку з сусідами

Модель Ізінга, яку представив Вільгельм Ленц і розв’язано в одному вимірі його учнем Ернстом Ізінгем у 1925 році, є найпростішим можливим уявленням магніту. Розмістіть спін s = ±1 на кожній позиції квадратної решітки. Кожен спін піклується лише про чотири найближчих сусідів, а загальна енергія конфігурації дорівнює:

H = -J ∑_(i,j) s_i s_j - h ∑_i s_i J > 0 феромагнітний зв’язок (узгоджені сусіди знижують енергію) _(i,j)_ сума по всіх найближчих парах сусідів лише h зовнішній вплив (0 у класичній демонстрації фазового переходу) Це вся модель: немає довгих відстаней, немає квантової механіки, лише локальне правило, яке змушує сусідні спіни віддавати перевагу спряженню в одному напрямку. Все цікаве — різкий фазовий перехід, універсальні критичні показники експонентів, точно розв’язана вільна енергія — випливає з цього одного локального правила, коли додається температура.

H = −J ∑ s_i s_j  −  h ∑_i s_i

J > 0   ferromagnetic coupling (aligned neighbours lower the energy)
   sum over nearest-neighbour pairs only
h       external field (0 in the classic phase-transition demo)

Зразок із алгоритму Метапопування

При температурі T ймовірність будь-якої конфігурації задається експонентою від Boltzmann-ваги exp(-H/kT), а обчислення точних середніх по 2^(N²) конфігураціях є неможливим для будь-якого реального розміру решітки. Алгоритм Метапопування (1953) року замість цього будує марковську ланцюг, який відвідує конфігурації з точною довгостроковою частотою:

повторювати: вибрати випадковий сайт i ΔE = зміна енергії, якщо s_i було перевернуто якщо ΔE <= 0: прийняти перевертання (воно знижує енергію) інакше: прийняти з ймовірністю exp(-ΔE / kT) (інакше залишити s_i незмінним) Прийняття деяких рухів, що підвищують енергію, є ключовим моментом: це дозволяє ланцюгу вийти з локальних мінімумів і відтворити повну теплову розподіл замість того, щоб просто впасти в основний стан. Пройдіть кожен сайт у решітці один раз і ви завершите один крок Монте-Карло; запустіть достатньо кроків і часові середні значення магнетизації, енергії та інших величин збігаються зі своїми рівноважними значеннями при цій температурі.

repeat:
  pick a random site i
  ΔE = energy change if s_i were flipped
  if ΔE <= 0:            accept the flip (it lowers the energy)
  else:                    accept with probability exp(−ΔE / kT)
  (otherwise leave s_i unchanged)

Критична температура та точне рішення Онсагера

У двох вимірах модель має справжню фазову перехідну температуру — на відміну від 1D ланцюга, який ніколи не утворює порядок при будь-якій T > 0. Вище критичної температури Tc, термічний рух перемагає і середнє магнітне вирівнювання дорівнює нулю: спіни вказують вгору та вниз в приблизно рівному, неорганізованому порядку. Нижче Tc, звязок перемагає і решітка спонтанно обирає одну напрямку, розвиваючи ненульове середнє магнітне вирівнювання без зовнішнього поля, яке б змушувало її. Ларс ОНсагер розв’язав 2D квадратну решітку моделі точно у 1944 році і знайшов:

kTc / J = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2.269 Спонтанне магнітне вирівнювання для T < Tc: M(T) = [1 - sinh(2J/kT)]^(1/8) Це рішення ОНсагера є одним із небагатьох точно розв’язаних нетривіальних фазових переходів у статистичній механіці, і воно дає змогу перевіряти симуляції, такі як ця, проти точного цілі: запускайте ланцюжок Метаполя при багатьох температурах, побудуйте середнє значення |M| проти T, і воно повинно відтворити криву ОНсагера, згладжуючись до нуля безпосередньо при Tc.

kTc / J = 2 / ln(1 + √2)  ≈  2.269

Spontaneous magnetisation for T < Tc:
  M(T) = [1 − sinh⁻⁴(2J/kT)]^(1/8)

Критичні показники та універсальність

Поблизу Tc, декілька величин розбігаються або зникають як степені залежності від зменшеної температури t = (T-Tc)/Tc: магнітність M ≈ |t|^β (β = 1/8), провідність χ ≈ |t|^(-γ) (γ = 7/4), теплопривід C ≈ ln|t| (логарифмічне, а не степеняві залежності розбіжність для цієї моделі), та кореляційна довжина ξ ≈ |t|^(-ν) (ν = 1). Те, що робить ці числа відомими – це універсальність: дуже різні фізичні системи — реальні нерухливі одноосьові ферромагніти, деякі бінарні рідини поблизу їх критичної точки змішування, деякі точки критичного переходу рідкий-газ — мають абсолютно однакові показники як 2D модель Ізинга, оскільки поблизу безперервного фазового переходу важливо лише розмірність та симетрія порядку параметра, а не мікроскопічні деталі взаємодії.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Ising Model — Phase Transition і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.