Структура смуг та рівень Фермі: Чому деякі тверді речовини проводять, а інші – ні

Від атомних рівнів до зон

Одинокий атом має чіткі, дискретні енергетичні рівні. Зберіть приблизно 10²³ таких атомів у кристалі, і кожен рівень не залишається на місці – він розпадається на стільки ж близько розташованих підрівнів, скільки атомів, оскільки кожен електрон тепер відчуває періодичний потенціал всього кристалу, а не окремий ядро. Зберіть достатньо атомів, і ці підрівні зливаються у квазінескінченну зону дозволених енергій. Між сусідніми зонами може бути діапазон енергій без будь-яких дозволених станів – проміжна зона, а наявність та ширина цієї зони визначає, чи є тверде тіло металом, діелектриком або напівпровідником.

Теорема Блоха та дисперсія E(k)

Фелікс Блох у 1928 році показав, що електрон, що рухається в ідеально періодичному потенціалі, має хвильові функції спеціальної форми: плоска хвиля, модуляція якої здійснюється функцією з тією ж періодичністю, що й решітка. Кожна допущена стадія позначена хвилекою k, а побудова графіку енергії проти k дає дисперсійні співвідношення E(k), які визначають смуги.

Теорема Блоха: ψ_k(r) = e^{ikr} u_k(r), u_k(r + a) = u_k(r) Кроніґ-Пенні (1D квадратне-ярухове решіткоподібне полотно періоду a) дає виразну дисперсійну співвідношення: cos(ka) = cos(αa)·cosh(βb) + (α² − β²)/(2αβ)·sin(αa)·sinh(βb) Розв’язки існують лише для діапазонів енергії, які задовольняють |RHS| <= 1 — заборонені інтервали між ними є проміжки. Проміжки відкриваються на краях Бріллюєвої зони, де довжина хвилі електрона збігається з відстанню між решітками достатньо тісно, щоб попередня та зворотна хвилі перешкоджали одна одній так само, як рентгенівські промені в дифракції Брэгга. Дві отримані стоячі хвилі накопичують електронну густину або зверху на позитивних іонах, або між ними; різниця в енергії Кулона між цими двома розподілами заряду дорівнює ширині проміжку.

Bloch's theorem:  ψ_k(r) = e^{ikr} u_k(r),   u_k(r + a) = u_k(r)

Kronig-Penney (1D square-well lattice of period a) gives the
implicit dispersion relation:

  cos(ka) = cos(αa)·cosh(βb) + (α² − β²)/(2αβ)·sin(αa)·sinh(βb)

Solutions exist only for ranges of energy that satisfy |RHS| <= 1 —
the forbidden ranges in between are the band gaps.

Метали, діелектрики, напівпровідники

Чи проводить тверде тіло, залежить від того, як заповнено його найвищий зайнятий енергетичний рівень при абсолютному нулі. Метал має частково заповнений пояс: існують порожні стани з невеликою енергією вище верхнього заповненого, тому будь-яке прикладене поле може штовхнути електрони в них, і струм вільно тече. Діелектрик має повністю заповнений валентний пояс, відокремлений від порожнього провідного поясу великою пропасти – декількома електронвольтами – тому жоден електрон не має достатньої теплової енергії, щоб перетнути її. Напівпровідник побудовано так само, як і діелектрик, але з меншою пропастю (приблизно 1,1 еВ для кремнію та 1,4 еВ для галію аридину), достатньо малою, щоб значна кількість електронів тепловодородним способом переходила через неї при кімнатній температурі.

Допінг та рівень Фермі

Заповнення кожного стану визначається розподілом Фермі-Дірака, а рівень Фермі (Ef) – це енергія, при якій ймовірність заповнення становить точно пів. У чистому («природному») кремнії Ef майже точно знаходиться в центрі проміжку. Заміна одного атома кремнію на мільйон атомів фосфору – з додатковим електроном, ніж у кремнії – призводить до того, що цей додатковий електрон займає невеликий рівень донора нижче краю провідності; при кімнатній температурі він легко іонізується, і Ef зміщується в напрямку краю провідності (n-тип). Заміна атома кремнію на бор – з одним електронним дефіцитом – створює рівень акцептора біля краю валентної зони, що тягне Ef вниз (p-тип).

Fermi-Dirac occupation:   f(E) = 1 / ( exp((E − Ef)/kT) + 1 )

Intrinsic carrier density:   ni = sqrt(Nc·Nv) · exp(−Eg / 2kT)

Nc, Nv = effective density of states of the conduction/valence band
Eg     = band gap energy

Температура та концентрація носіїв заряду

Оскільки nᵢ залежить експоненціально від −Eg/2kT, концентрація носіїв заряду надзвичайно чутлива до температури. При дуже низьких температурах донори та акцептори «заморожуються» — недостатньо теплової енергії для їх іонізації, і провідність колапсує. У межах нормального робочого діапазону екстраінвані носії, отримані за допомогою легування, домінують, і провідність приблизно рівномірна. Якщо підвищити температуру достатньо, теплово генеровані електронно-діркові пари з усього проміжку переважають над легуванням, і матеріал знову набуває внутрішнього стану — що й пояснює, чому симуляція дозволяє змінювати температуру та спостерігати за зміною рівня Фермі та кількості носіїв заряду.

Прямі проти непрямих проміжків

Не всі проміжки однакові для оптики. У матеріалах прямого проміжку, таких як галію арсенід, мінімум провідної зони та максимум валентної зони знаходяться в одній точці k, тому електрон може випромінювати фотон і безпосередньо перестрибнути через проміжок – фотон несе практично жодного кристального імпульсу, отже імпульс автоматично зберігається. У кремнії проміжок непрямий: мінімум провідної зони знаходиться в іншій точці k, ніж максимум валентної зони, тому радіативне рекомбінування також потребує фонона для компенсації різниці в імпульсі. Цей тричастинковий процес набагато менш ймовірний, що пояснює, чому світлодіоди та лазери виготовляються з матеріалів прямого проміжку, а кремній – чудовий матеріал для транзисторів – є поганим емітером світла.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Band Structure і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.