Сила Лоренца: Як Електричні та Магнітні Поля Направляюють Заряд

Одна рівняння, чотири види руху

Заряджена частинка в електричних та магнітних полях слідує єдиному векторному закону, — силі Лоренца: F = q(E + v×B). Електричний член qE штовхає частинку прямою лінією, паралельно полю, і виконує роботу над нею — прискорюючи або сповільнюючи її. Магнітний член qv×B відрізняється за природою: оскільки це векторне добуток з вектором швидкості, він завжди перпендикулярний v, тому ніколи не змінює швидкість частинки, лише її напрямок. Магнітні поля керують; вони ніколи не прискорюють заряд вздовж його власного шляху.

Припустимо E = 0 та киньте заряд у однорідне B, і ви отримаєте найпростіший випадок: обертальний рух. Магнітна сила забезпечує точну центripetal force для кола, qvB = mv²/r, яке переписується як радіус циклотрона r = mv/(qB) — часто називається радіусом Ламберта в контексті фізики плазми. Кутова частота цього кола, ω = qB/m, є циклотронною частотою, і дивно, що вона не залежить від швидкості частинки: швидкі частинки просто прокладають більші кола на тій самій частоті. Ця незалежність від швидкості пояснює, як працюють циклотрони як прискорювачі частинок — фіксована частота осцилюючого напруги синхронізується з частинкою, коли вона розширюється та отримує енергію на кожному перетині.

Додавання гравітації або другого поля: циклоїди та зсув

Якщо додати рівномірне E-поле, перпендикулярне до B (або, еквівалентно, рівномірну силу, як гравітація), то коловий рух не закривається само по собі. Інстинктивна швидкість частинки постійно змінює магнітну силу, яку вона відчуває, і ця комбінація простежує циклоїду — спіраль з петлями, яка стабільно зсувається в бік. Звертається висновок, що цей зсув швидкості, v_drift = E×B / B², повністю незалежний від заряду, маси та початкової швидкості частинки: електрони та протони зсуваються разом з однаковою швидкістю та в одному напрямку. Цей E×B зсув є механізмом утримання та обертання плазми в джерелі магнетронного розпилення та, на набагато більшій маті, визначає обертання плазми в радіозонах Ван Аллена та в приладах з магнітним утриманню плазми для термоядерних реакторів.

v_drift = (E × B) / |B|^2      // charge- and mass-independent
r_L     = m v_perp / (|q| B)   // Larmor (cyclotron) radius
omega_c = |q| B / m            // cyclotron frequency, independent of v

Інтеграція руху: чому RK4, а не Юла

Рівняння руху є спарованим, з залежністю від швидкості – прискорення в наступний момент часу залежить від швидкості, яку ви намагаєтесь розв’язати, оскільки v×B впливає один на одного. Простий крок Юли (попередня швидкість із старим прискоренням, потім позиція з старою швидкістю) систематично додає або видаляє енергію з магнітного орбіту, і колові траєкторії видимі розвертаються зовні або всередину через кілька десятків обертів, хоча справжня фізика точно зберігає кінетичну енергію частинки. У цій сторінці інтегрується F = q(E + v×B) з використанням класичного четвертого порядку Runge–Kutta, зразок сили чотири рази за крок і згладжування оцінок, що підтримує закриту колову орбіту та рівень енергії протягом тисяч обертів при помірному кроці. (Спеціалізований код плазми швидше за все використовував би алгоритм Бориса, спеціалізовану схему типу leapfrog, яка не є точною з четвертого порядку, але точно зберігає енергію для чистого магнітного обертання та дешевша на крок, ніж RK4 – хороший приклад того, як сідловий метод перемагає більш високий порядок точності для конкретної фізичної задачі.)

Lorentz Force – Заряджена Частинка в ЕМ Полях

The same three regimes — pure rotation, cycloidal drift and free ballistic motion when both fields vanish — describe the aurora (electrons spiralling down Earth's field lines and gyrating around them), the mass spectrometer (measuring m/q from the radius of a known B and v), the cathode-ray tube and CRT electron guns, and the confinement scheme of a tokamak, where the E×B drift is deliberately used to rotate the plasma column away from wall contact.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Lorentz Force і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.