Лагранжа точки: П'ять місць паркування проблеми тільних тіл

Задача без замкнутого аналитического решения

Общая задача трех тел — три массы, взаимодействующие исключительно за счет гравитации — не имеет замкнутого аналитического решения. Жюль Poincaré продемонстрував у 1890 році, що їх траєкторії хаотичні: незначно різні початкові умови розходяться в кардинально різні майбутні. Задача з обмеженнями обходить це, припускаючи, що третє тіло настільки легке, що воно не порушує взаємодії двох великих тіл. У 1772 році Жюль-Луї Лагранж виявив, що ця система з обмеженнями має рівно п’ять точок, де сукупна гравітаційна сила обох мас і центрифужна сила обертаючої системи скасовуються — об'єкт невеликої маси, розміщений там, залишається фіксованим відносно обох тіл, обертаючись разом із центром мас системи у бездоганній синхронізації.

У кадрі, що обертається разом з двома первинними тілами, все спрощується до градієнта єдиного ефективного потенціалу:

Φ_eff(x,y) = −GM₁/r₁ − GM₂/r₂ − ½ω²(x²+y²)
The five Lagrange points are exactly where ∇Φ_eff = 0

П'ять точок, де сили збалансовані

Усі п’ять розташовані вздовж або біля орбіти двох первинних — Сонця та Землі, наприклад. L1 знаходиться між двома тілами, приблизно за 1,5 мільйона км на сонячному боку від Землі – відкритий огляд Сонця, але нестабільний, де розташовані SOHO та DSCOVR. L2 розташований на тій же відстані з іншого боку Землі від Сонця, постійно затінений – також нестабільний, але це місце паркуються JWST, Gaia, Planck та Herschel. L3 знаходиться навпроти Землі, на іншому боці Сонця, повністю прихований і практично непридатний. L4 та L5 розташовані на відстані 60° попереду та позаду Землі відповідно, утворюючи рівносторонні трикутники з Сонцем і Землею – і дивовижно, ці дві точки стабільні.

Чому L4 та L5 стабільні, а L1–L3 – ні

Це здається назад: L1–L3 є садковими точками Φeff, і куля на садковому полотні котиться подалі від будь-якого дотику, що й відбувається — там перетворюються експоненціально зростаючі поправки, і космічним апаратам потрібні періодичні паливові витрати для утримання позиції. L4 та L5, з іншого боку, знаходяться в локальних максимумах ефективного потенціалу, що звучить ще менш перспективно. Але потенційна енергія сама по собі не визначає стабільність тут — Колібрізована сила Кориса у обертовому просторовій системі робить це. Лінеаризація рівнянь руху навколо L4/L5 дає стабільну умову щодо співвідношення мас:

μ = M₂/(M₁+M₂) < μ_c = (1 − √69/9) / 2 ≈ 0.03852 Для Сонця-Землі, μ ≈ 3×10⁻⁶; для Сонця-Юпітера, μ ≈ 9.5×10⁻⁴; для Землі-Місяця, μ ≈ 0.012 — все комфортно нижче порогу, тому всі три системи мають стабільні точки L4/L5. Об’єкти, які відхиляються поблизу них, не падають у них або віддаляються; вони осідають у повільних лійних орбітах або ширших гравітаційних орбітах, що простягаються від L4 через L3 до L5 і назад протягом століть.

μ = M₂/(M₁+M₂) < μ_c = (1 − √69/9) / 2 ≈ 0.03852

Реальні місії та межа сфери Hill

JWST досягла Сонця-Землі L2 через тридцять днів після запуску 2021 року і тепер летить величезний гало-орбіту навколо себе, приблизно 800 000 км в діаметрі, підтримуючи Сонце, Землю та Місяць у всіх трьох за спинами її тенісного корта сонцезахисту, одночасно залишаючись далеко від тіні Землі. SOHO та DSCOVR сидять на L1 з протилежної причини — неперервний огляд Сонця, із попередженням приблизно на годину до прибуття сонячної хмари на Землю. Троянські астероїди Юпітера L4 і L5 захопили близько 12 000 відомих астероїдів — примітивний матеріал, який зараз відвідує місія Lucy NASA — і навіть у Землі є один, 300-метровий астероїд 2010 TK₇, що обертається навколо L4.

Це не випадково, що L1 та L2 знаходяться біля краю сфери Hill Землі, області r_H ≈ a(M₂/3M₁)^(1/3), де гравітація Землі, а не Сонця, домінує — приблизно 1,5 мільйона км, майже точно як відстань між L1 та L2. Поза цією відстанню третя тіло належить Сонцю, а не Землі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.