Закони Кеплера: Моделювання Сонячної Системи, яка залишається правильною

Три закони, извлеченные из таблицы чисел

Йоханнес Кеплер не имел теории гравитации. У него была двадцатилетняя серия наблюдений Марса, сделанных Тихо Брахе (на собственные глаза) — самые точные данные о положении, когда-либо собранные, достаточно точные, чтобы круглые и эпициклические модели того времени промахнулись от них примерно на восемь угловых минут. Кеплер отказался отбрасывать эту рассогласованность, что стоило ему круга. То, что вышло в период с 1609 по 1619 год, были три эмпирических утверждения, которые все еще точно описывают любую двухтелльную орбиту:

1. Орбиты являются ЭЛЛИПСАМИ с Солнцем в одном фокусе (не в центре). 2. Линия от Солнца к планете вычерчивает РАВНЫЕ ЗОНЫ за равные промежутки времени — поэтому планета движется быстрее на перигелии, медленнее на афелии. 3. T² ∝ a³ — квадрат периода пропорционален кубу полубольшего сопряженного радиуса, с ОДНОЙ ИСПОЛЬЗУЕМОЙ константой для каждой планеты. live demo · bodies on elliptical orbits● LIVE Ньютон позже показал, что все три закона являются следствием одной обратной силы квадрата. Второй закон просто является сохранением углового момента в маске — ничего не требуется от гравитации, только то, что сила направлена по прямой линии между двумя телами. И третий получает константу, которую Ньютон не смог бы угадать:

1. Orbits are ELLIPSES with the Sun at one focus (not at the centre).

2. The line from the Sun to the planet sweeps EQUAL AREAS in equal
   times — so a planet moves fastest at perihelion, slowest at aphelion.

3. T² ∝ a³ — the square of the period is proportional to the cube of
   the semi-major axis, with the SAME constant for every planet.

Геометрія еліпса

Орбіта визначається формою та розмірами: півбольшею віссю (a) і ексцентриситетом (e) (0 = коло, наближаючись до 1 = голка). Відстань від фокусу як функція від істинного аномального кута ν — кут від Сонця, виміряний від перигелію — є полярною сталою еліпса:

r(ν) = a (1 − e²) / (1 + e cos ν) ν = 0 → r = a(1 − e) перигелій, найближча точка ν = π → r = a(1 + e) афелій, найдальша точка Швидкість випливає з закону збереження енергії. Загальна енергія об’єднаного орбітального руху залежить тільки від a, що дає рівняння виживання (vis-viva equation) — безсумнівно, найбільш корисну формулу в теорії орбіт, оскільки вона перетворює положення на швидкість без інтегрування.

r(ν) = a (1 − e²) / (1 + e cos ν)

ν = 0    → r = a(1 − e)   perihelion, the closest point
ν = π    → r = a(1 + e)   aphelion,  the furthest point

Рівняння Кеплера та причина його відомості

Тепер найскладніше. Три закони говорять вам про форму орбіти та що площа, яку розчиняє орел, є постійною — але вони не дають вам положення як елементарної функції часу. Для цього потрібно два допоміжні кута. Середнє відхилення (M) – це кут, на який б повернулася фіктивна тіло на колі з таким же періодом: воно лінійно залежить від часу. Ексцентричне відхилення (E) – це геометрична конструкція на колі, описаному навколо еліпса. Вони пов'язані тим, що:

M = 2π (t − t₀) / T // безперервно лінійне залежить від часу M = E − e·sin E // РІВНЯННЯ КЕПЛЕРА — трансцендентне Це друге рядки не має розв’язку у вигляді елементарної функції для E. Воно створює проблеми з 1609 року, і це причина того, що обчислювальне моделювання орбіт виконується чисельно, хоча сама орбіта є точним аналітичним кривою. На практиці її розв’язують крок за кроком методом Ньютона-Рафсона, який збігається в 2-3 ітерації для ексцентричності планет:

let E = M; // хороший початковий приріст для малого e for (let i = 0; i < 8; i++) { const f = E - e * Math.sin(E) - M; const fp = 1 - e * Math.cos(E); const dE = f / fp; E -= dE; if (Math.abs(dE) < 1e-12) break; // зазвичай 2–3 ітерації } // ексцентричне відхилення → справжнє відхилення → положення const nu = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(1 + e) * Math.sin(E / 2), Math.sqrt(1 - e) * Math.cos(E / 2)); const r = a * (1 - e * Math.cos(E)); const x = r * Math.cos(nu), y = r * Math.sin(nu); Для майже параболічних орбіт (e близько до 1) простий початковий приріст E = M збігається повільно або взагалі не збігається, і потрібна краща оцінка або інша форма, - комета набагато складніше моделювати, ніж планета.

M = 2π (t − t₀) / T          // trivially linear in time
M = E − e·sin E              // KEPLER'S EQUATION — transcendental

Два способи побудови сонячної системи та коли кожен з них підходить

Вищеописаний метод – кеплерівське просування: кожна планета має фікстрований набір орбітальних елементів, і її положення в будь-який момент часу t обчислюється безпосередньо з них. Він швидкий, точний для двох тіл, ніколи не відхиляється та дозволяє перестрибнути до будь-якої дати одним кроком без накопичення помилок. Однак він не може реагувати на щось – планети не відчувають один одного, орбіти не прецесуються, не утворюються резонанси, і космічний корабель не може змінити свій шлях.

Альтернативний метод – інтеграція N-тіл: задається положення та швидкість кожного тіла, обчислюються взаємні гравітаційні сили на кожному кроці, і відбувається інтегрування. Тепер збурення виникають автоматично – Юпітер впливає на Марс, орбіти прецесуються, резонанси утворюються самостійно – але ви успадковуєте всю систему чисельного інтегрування, включаючи її помилки. Інтегратор повинен бути с імплицитним (наприклад, Leapfrog або карта Wisdom–Holman с імплицитним с імплицитним с імплицитним), використання RK4 призведе до монотонного відхилення енергії та розходження планет на тривалих термінах.

Кеплерівські елементи Інтеграція N-тіл ────────────────────── ───────────────────────────── точний для 2 тіл приблизний, накопичуються помилки без збурень збурення виникають автоматично перехід до будь-якої дати, O(1) потрібно проходити інтервал без відхилення енергії, завжди потребує імплицитного інтегратора планетні ефемериди динаміка галактик, резонанси, стабільні візуалізації столкнення, космічні кораблі

Keplerian elements        N-body integration
──────────────────────    ─────────────────────────────
exact for 2 bodies        approximate, error grows
no perturbations          perturbations are automatic
jump to any date, O(1)    must step through the interval
no energy drift, ever     needs a symplectic integrator
planet ephemerides,       galaxy dynamics, resonances,
stable visualisations     collisions, spacecraft

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Solar System і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.