Стохастичні процеси: від випадкових ходів до геометричного броунівського руху

Випадковий рух є найпростішим стохастичним процесом

Стохастичний процес — це просто послідовність випадкових змінних, індексована часом — у кожний момент часу наступне значення витягується з розподілу ймовірностей, а не обчислюється за фіксованим правилом. Найпростіший приклад — випадковий рух: частинка, яка на кожному дискретному кроці рухається вліво або вправо з однаковою ймовірністю. Це звучить тривіально, але це зерно, з якого виростає вся сфера.

Запустіть багато незалежних рухових елементів із однієї початкової точки та їх розповсюдження зростатиме передбачувано, незважаючи на те, що кожен окремий шлях є непередбачуваним. Для простого симетричного руху n кроків розміру Δx дисперсія положення зростає лінійно з кількістю кроків:

x(n) = Σ ξᵢ, ξᵢ = ±Δx з ймовірністю 1/2 кожна E[x(n)] = 0 (відсутній загальний зсув) Var[x(n)] = n · Δx² (розповсюдження зростає лінійно з n, отже σ ∝ √n) Це квадратний корінь масштабування — дисперсія випадкового руху зростає з квадратомним коренем часу, а не з самим часом — це один із найважливіших фактів у всіх стохастичних моделюваннях. Це пояснює, чому дифузія повільна, чому запаху потрібно вчетверо більше часу, щоб розповсюдитися вдвічі далі, і чому випадковий рух без зсуву завжди повертається до своєї початкової точки в одному чи двох вимірах, але не в трьох.

x(n) = Σ ξᵢ,   ξᵢ = ±Δx with probability 1/2 each
E[x(n)] = 0                     (no net drift)
Var[x(n)] = n · Δx²             (spread grows linearly in n, so σ ∝ √n)

Brownian motion: the continuous-time limit

Let the step size shrink and the step rate grow, in just the right combination, and the discrete random walk converges to Brownian motion (also called a Wiener process, W(t)) — the continuous-time process first used by Einstein in 1905 to explain the jittery motion of pollen grains buffeted by unseen water molecules, and put on rigorous mathematical footing by Norbert Wiener. Its defining properties are that it starts at zero, has independent increments, and each increment over a time span Δt is normally distributed with mean 0 and variance Δt — the same square-root scaling as the discrete walk, now exact rather than approximate.

Геометричний броунівський рух та фінансові ціни

Звичайний броунівський рух може дати від'ємні значення, що робить його плохим для моделювання чогось, як-от ціни акцій, яка повинна бути позитивною. Геометричний броунівський рух усуває це, моделюючи логарифм ціни як броунівський рух із зсувом, що еквівалентно тому, що ціна сама по собі розвивається за допомогою стохастичної диференціальної рівняння

dS = μ·S·dt + σ·S·dW S = ціна активу μ = швидкість течії (очікувана прибутковість) σ = волатильність dW = збільшення Вінерського процесу розв'язок: S(t) = S(0)·exp[(μ − σ²/2)·t + σ·W(t)] Це процес в основі моделі Black-Scholes з ціноутворенням опціонів: ціни ніколи не можуть дорівнювати нулю, відсоткові зміни замість абсолютних змін зазвичай розподілені, і модель захоплює емпіричний факт, що прибутки складаються множниками, а не додаються.

dS = μ·S·dt + σ·S·dW

S = asset price    μ = drift rate (expected return)
σ = volatility      dW = increment of a Wiener process

solution:  S(t) = S(0)·exp[(μ − σ²/2)·t + σ·W(t)]

Poisson processes: counting rare, independent events

Not every random process is about position — sometimes you're counting discrete events arriving at random times: customers at a queue, radioactive decays, server requests. A Poisson process models exactly this: events occur independently at a constant average rate λ, and the number of events in any interval of length t follows a Poisson distribution with mean λt. Its defining, slightly counterintuitive property is memorylessness — the waiting time until the next event doesn't depend at all on how long you've already waited, which is why the time between consecutive events is exponentially distributed.

Why everything converges to a bell curve

The reason Brownian motion, Poisson counts and countless other stochastic processes all end up looking approximately Gaussian for large samples is the central limit theorem: the sum of many independent random contributions, regardless of their individual distribution, converges to a normal distribution as the number of terms grows — exactly what happens inside a random walk's sum of ±Δx steps. It’s the deep reason a bell curve keeps showing up everywhere from measurement noise to option returns to the diffusion of ink in water.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Stochastic Processes і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.