Гіпоциклоїди та Епіциклоїди: Геометрія Кругових Котувань

Обрушування одного кола всередині іншого

Візьміть фіксоване коло радіуса R і дозвольте меншому колу з радіусом r обертатися навколо його внутрішньої сторони без тертя. Відзначте точку на краю обертаючого кола та відстежте її траєкторію, коли мале коло обертається - ця крива є гіпоциклоїдом. Замість цього змусьте мале коло обертатися зовні фіксованого кола, і ви отримаєте епіциклоїд. Обидва належать до ширшої родини роулетів – кривих, які відносяться до траєкторії точки, прикріпленої до однієї кривої під час її обертання на іншій.

Параметричні рівняння

З фіксованим колом, центрованим в початку координат, радіусом R, та пересуваним колом радіусом r, обмеження бездоторжної ковзання визначає обертання невеликого кола відносно його повороту кута θ. Розглядаючи геометрію, отримуємо параметризацію гіпоциклоїда:

x(θ) = (R - r) * cos(θ) + r * cos((R-r)/r * θ)

y(θ) = (R - r) * sin(θ) - r * sin((R-r)/r * θ)

Епіциклоїд є тим самим конструкцією, але знак r у терміні пересуваного кола перевернутий, оскільки невелике коло тепер обертається протилежним чином відносно шляху його власного центру:

x(θ) = (R - r)·cos(θ) + r·cos((R-r)/r · θ)
y(θ) = (R - r)·sin(θ) - r·sin((R-r)/r · θ)

Чому кількість гострокутних крапок дорівнює R/gcd(R,r)

Кожного разу, коли котиться повне коло відносно фіксованого кола, простегнута точка торкається краю фіксованого кола і на кривій утворюється гострокутний кут – різкий пункт, де швидкість проходження трасленої точки миттєво падає до нуля. Крива закривається після того, як повне коло обернулося навколо центру ціле число разів і одночасно обернулося навколо власного осі на ціле число разів, що відбувається тоді, коли θ проходить через кратне 2π·r/gcd(R,r). Кількість гострокутних кутів у одній закритій кривій дорівнює точно R / gcd(R, r) – якщо R і r є взаємно простими, отримуємо R гострокутних кутів; якщо r ділить R, то отримуємо R/r гострокутних кутів.

Припустимо R = 4r, тоді ви отримаєте астероїд – чотирикутник зі складним візерунком з елегантним неявним виглядом x² + y² = R². Припустимо R = 3r, то ви отримаєте дельтоїд із трьома гострокутними кутами. Якщо R = 2r, тоді відбувається щось вражаюче: два гострокутних кута зникають, і вся крива стискається до прямої лінії – діаметра фіксованого кола. Це тусієвське з’єднання, описане тринадцятивіковим астрономом Насиром аль-Діном аль-Тюсі за сотні років до Коперника, демонструє, що рух по прямій може бути створений із двох чистих обертань, факт, який пізніше використовувався в механічних зв’язках.

Родина епіциклоїдів: серце та ниркова чаша

Зовні, R = r дає серцевидну форму – одне з вигинів, назване серцем через його схожість із формою серця, оскільки r = R означає, що колісниця обертається в тому ж радіусі, що й фіксована колодка. R = 2r дає ниркову чашу – форму з двома вигинами, яка також з'являється як катістична крива (яка представляє собою криву зосередженого світла), утворену всередині чашки або кільця, освітлених з одного боку, оскільки світло, відбите від круглої рамки, точно охоплює цю форму.

Раціональні проти ірраціональних відношень

Якщо R/r є раціональним числом p/q у найпростішому вигляді, то крива замикається після q обертів центру пересувної окружності та має p випуклостей – чисте, замкнуте колесо рулетки. Якщо R/r є ірраціональним числом, то точка не повертається до попередньої позиції, і крива обвиває кільце між радіусом R-2r і R назавжди, щільно заповнюючи його без замкнутого оберту. Живий демо вимагає gcd(R, r) з двох слайдерів при зміні значень та повідомляє точну кількість випуклостей перед малюванням, а потім зупиняє відстеження на куті закриття, щоб крива не перемальовувалась.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Hypocycloid і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.