Hipocykloidy i Epicykloidy: Geometria Obrotowych Okręgów

Obrotowy kołocentrum wewnątrz innego

Weź nieruchomy okrąg o promieniu R i obracaj w nim mniejszy okrąg o promieniu r, nie ślizgając się po nim, z zaznaczeniem punktu na obracającym się okręgu w jego brzegu i śledząc jego drogę, gdy mały okrąg obraca się - ta krzywa to hipocykloid. Obracaj mniejszy okrąg wokół zewnątrz nieruchomego okręgu i otrzymasz epicykloid. Oba należą do szerszej rodziny rouletów, krzywówek rysowanych przez punkt przymocowany do jednej krzywej podczas jej obracania się na drugiej.

Parametryczne równania

Przy stałym kole o promieniu R i obracającym się kole o promieniu r, ograniczenie bezślizgowe wymusza rotację małego koła względem jego kąta obrotu θ. Praca geometryczna prowadzi do parametrizacji hipocykloidy:

x(θ) = (R - r) * cos(θ) + r * cos((R-r)/r * θ)

y(θ) = (R - r) * sin(θ) - r * sin((R-r)/r * θ)

Epicykloida jest tym samym konstrukcją, ale znak r w terminie obracającego się koła został odwrócony, ponieważ małe koło teraz obraca się przeciwnie do kierunku drogi jego własnego środka.

x(θ) = (R - r)·cos(θ) + r·cos((R-r)/r · θ)
y(θ) = (R - r)·sin(θ) - r·sin((R-r)/r · θ)

Dlaczego liczba ostoi wynosi R/wspólny_znacznik(R,r)

Raz, gdy krążący okrąg wykonuje jedno pełne obroty względem nieruchomego okręgu, punkt śladu dotyka krawędzi nieruchomego okręgu, a krzywa posiada ostoię – ostre punkty, w których momentane prędkość punktu śladu spada do zera. Krzywa zamyka się po tym, jak krążący okrąg przeszedł wokół środka o całą liczbę obrotów i jednocześnie obrócił się o całą liczbę obrotów względem własnej osi, co zachodzi, gdy θ przesuwa się przez wielokrotność 2π·r/wspólny_znacznik(R,r). Liczba ostoi w jednej zamkniętej krzywej wynosi dokładnie R / wspólny_znacznik(R, r) – jeśli R i r są ze sobą względnie pierwsze, otrzymujemy R ostoi; jeśli r dzieli R, otrzymujemy R/r ostoi.

Ustaw R = 4r, aby otrzymać astroidę, cztery-ostoiową gwiazdę o eleganckiej implikowanej postaci x² + y² = R². Ustaw R = 3r, aby otrzymać deltoid, trzy ostoi. Ustaw R = 2r i dzieje się coś niezwykłego: dwie ostoi zanikają, a cała krzywa zapada na się w prosty odcinek – średnicę nieruchomego okręgu. Jest to Tusiowa para, opisana przez XIII-wiecznego astronoma Nasira al-Dina al-Tusiego wieki przed Kopernikiem, która pokazuje, że ruch po linii prostej może być wytworzony z dwóch czystych obrotów, fakt ten później wykorzystano w mechanicznych połączeniach.

Rodzina epicykloidów: kardioid i nefroid

Na zewnątrz, R = r daje kardioid – kształt przypominający pojedyncze serce, nazwany tak ze względu na to, że okrąg rolujący ma tę samą wielkość co stały. R = 2r daje nefroid, krzywą o dwóch wypukleniach w kształcie nerki, która pojawia się również jako koroza (jasna krzywa skoncentrowanego światła) powstająca w środku filiżanki lub pierścienia oświetlonego z jednej strony, ponieważ światło odbijające się od obrzeża okręgu dokładnie otacza ten kształt.

Ułamek rzeczywisty vs. nierealny

Gdy R/r jest liczbą wymierną p/q w najprostszej postaci, krzywa zamyka się po q obrotach środka krążącego koła rolującego i posiada p wyostrzonych krawędzi – czysty, zamknięty rulet. Gdy R/r jest liczbą niewymierną, punkt nigdy nie wraca do poprzedniej pozycji, a krzywa oplata pierścień między promieniem R-2r a R na zawsze, gęsto wypełniając go bez zamykania się. Live demo oblicza wyznacznik gcd(R,r) z dwóch wartości slajderów przy każdej zmianie i raportuje dokładną liczbę wyostrzonych krawędzi przed narysowaniem, a następnie zatrzymuje ślad w kącie zamykającym, aby krzywa nie nadryszyła się sama na sobie.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Hypocycloid i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.