Аполлонівська голка: Заповнення Кожним Відсіком Пересічних Кіль

Три взаємодоторкані кола, одна формула

Враховуючи три кола, які є взаємно дотичними один до одного, скільки кіл є дотичними до всіх трьох? Аполлоній Пергаський поставив це питання у III столітті до н.е. та виявив, що існує закономірно дві розв’язки – одна розташована між цими трьома, а інша охоплює всі три. Декарт відвідав цю проблему в 1643 році і знайшов те, чого не могли побачити давні геометри: суто алгебраїчний зв'язок між кривизнами чотирьох взаємно дотичних кіл (кривизна – це обернена величина радіуса кола, k = 1/r).

Теорема Декарта

Для чотирьох взаємно доторкаючихся кіл з кривизнами k1, k2, k3 та k4 (кільце, що оточує інші, вважається від'ємною кривизною, оскільки має протилежний вигин), теорема Декарта визначається так:

(k1 + k2 + k3 + k4)² = 2(k1² + k2² + k3² + k4²)

Розв’язуючи це квадратне рівняння для четвертої кривизни, знаючи три інші, отримуємо практичну формулу побудови, яка використовується для нарощування гальки по одній колі:

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√((k1 * k2) + (k2 * k3) + (k3 * k1))

Знак «±» відповідає двом рішенням Аполлоніуса – невеликому колу, яке щільно вписується у вигнутий трикутний проміжок між трьома, і великому колу, яке б охопило всі три. Щоб заповнити гальку, завжди використовують доданий знак (+), менше коло, що вкріплюється у порожній простір.

(k1 + k2 + k3 + k4)² = 2·(k1² + k2² + k3² + k4²)

Складний теорема Декарта: кола несуть положення, а не лише розмір

Кривизна сама по собі говорить про розмір нової окружності, але не вказує на її центр. Теорема Декарта має розширення з використанням комплексних чисел, виявлене Лагаріасом, Маллоузом та Вілкс, яке відстежує центр безпосередньо: визначте добуток кривизни та центру z = k(центр як комплексне число) для кожної окружності. Тоді z⁴ задовольняє ту саму квадратичну форму, що й кривинні:

z⁴ = z₁ + z₂ + z₃ ± 2√(z₁·z₂ + z₂·z₃ + z₃·z₁) Оскільки ця формула дає як розмір, так і точне положення центру нової окружності в одному кроці, це робить гальку практичним для рендерингу: не потрібне тригонометричне розв'язання умов дотику, лише арифметичні обчислення з комплексними числами, які застосовуються рекурсивно до кожної нової трійки взаємно дотичних кіл, що створює нова окружність.

z4 = z1 + z2 + z3 ± 2·√(z1·z2 + z2·z3 + z3·z1)

Побудова гайки Аполлона рекурсивно

Почніть з трьох взаємодоторканих кіл (або з дегенеративного випадку – двох паралельних ліній та кола, конфігурація з нульовою кривизною, яка також задовольняє теорему). Кожне нове коло, розміщене в проміжку, створює три нових проміжки – один проти кожного з сусідніх його кіл – таким чином побудова є триядерною рекурсивною деревоподібною структурою. На глибині d приблизно 3ⁿ нових кіл, і їх кривизни зростають геометрично, тому гайка заповнює внутрішній простір обмежувального кола незліченною кількістю, мінливих за розміром кіл: порожній простір, що залишається, має нульовий об’єм у межі.

Крутизна може бути цілим числом

Цікавий факт: якщо почати з чотирьох взаємно касаючихся кіл, у яких всі крутизності є цілими числами (найпростіший приклад – 0, 0, 1, 1 для двох паралельних ліній та двох кіл радіуса одиниці, або -1, 2, 2, 3 для правильного обмеженого гексадра), то кожне з кіл, що генеруються повторним застосуванням формули Декарта, також матиме цілу крутизність. Це пояснюється тим, що оновлення k4 = 2(k1+k2+k3) - k4_old (яке виводиться з двох коренів одного квадратичного рівняння, які мають спільну суму), є чисто додавальним після усунення квадратного кореня між двома рішеннями – жодних ірраціональних чисел не вводиться. Ці цілі гексадрани пов'язані з теорією чисел: набір усіх крутизнастей, які виникають, залежить лише від залишків по модулю 24 від початкових крутизнастей.

Розмірність фракталу

Гвізд Аполлона є фракталом: при збільшенні будь-якої дірки ви бачите ту саму рекурсивну структуру з тангенціальних кіл на кожному рівні. Її розмірність Гаусдорфа обчислено числово і становить приблизно 1,3057 – між лінією (розмірність 1) та заповненою площею (розмірність 2), що відображає той факт, що залишок порожнього простору, незліченно розбитий на частини, все ще має позитивну, але під-планарну розмірність.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Apollonian Gasket і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.