Структура зон графену: щільне зв’язування, діракові конуси та безмасові електрони

Дві трикутні решітки, одна сотокова

Графен — це окремий шар атомів вуглецю в герапетній структурі, але герапет не є власною Бравиєвою решіткою — неможливо відобразити кожне місце на кожну іншу точку з використанням одного набору векторів решітки, оскільки альтернативні атоми мають зосереджені зв’язки. Ключ полягає в тому, щоб бачити його як дві переплетені трикутні підрешітки, А і Б, кожна з яких є правильною Бравиєвою решіткою, зміщеними одна від одної на відстань одного атомного зв’язку δ ≈ 0,142 нм. Кожен атом А пов'язаний із трьома сусідами Б, і навпаки.

Що дві-позиційна база є причиною незвичайного електронного строю графену. Проста трикутна решітка з одним атомом на позиції дає звичайну, прозору або металічну смугу; двоатомна база дозволяє хвильовим функціям двох підрешіток взаємодіяти, і в певних точках простору імпульсів ця взаємодія робить енергетичний проміжок точно нулем.

Тісна взаємодія на гранічному шестикутнику

Стандартна модель передбачає лише найближчі-сусідські перемішування між 2pz орбіталями, що утворюють π зв’язки в графені — орбіталі, які фактично несуть проводисті електрони, з енергією перемішування t ≈ 2.7–2.8 еВ. Запис блохового гамільтоніана в базі підрешітців A/B дає матрицю 2×2 з нульовим діагоналу (обидва підрешітки хімічно ідентичні) та внеском перемішування, який сумує фазу від трьох найближчих-сусідських векторів:

H(k) = | 0 f(k) | f(k) = t · Σ_j exp(i k·δ_j) (j = 1,2,3) | f*(k) 0 | E±(k) = ± |f(k)| = ± t · sqrt( 3 + 2cos(k·a1) + 2cos(k·a2) + 2cos(k·(a1−a2)) ) Діагоналізація матриці 2×2 дає дві смуги, E+ (провідність) та E− (валентність), симетричні відносно нуля за конструкцією — ця електрон-тіркова симетрія є прямим наслідком біпартітного A/B структури, а не випадковістю. Розподіл енергії періодичний у графеновому шестикутнику Брілюєвої зоні, яка сама є оберненою-решітковою моделлю реального простору гранічного шестикутника.

H(k) = | 0        f(k) |          f(k) = t · Σ_j exp(i k·δ_j)   (j = 1,2,3)
       | f*(k)    0    |

E±(k) = ± |f(k)| = ± t · sqrt( 3 + 2cos(k·a1) + 2cos(k·a2) + 2cos(k·(a1−a2)) )

К and К': Where the Gap Closes

| |f(k)| is zero wherever the three phase terms cancel exactly, which happens at two inequivalent corners of the hexagonal Brillouin zone, conventionally called K and K′ (also written K and K-prime, or the two valleys). At those points the conduction and valence bands touch with zero gap — this is the Dirac point, and because undoped graphene has exactly one electron per pz orbital, the Fermi level sits precisely there. Graphene is therefore neither a metal (no partially filled band away from a special point) nor an insulator (no gap) — it is a semimetal.

Чому конус лінійний, і чому це означає "безмасовість"

Розширте f(k) в невеликому імпульсі q, виміряному від K: постійні та квадратичні члени зникають через геометрію гексагональної сітки, і виживає лише лінійний член:

E±(q) ≈ ± ħ vF |q| vF = 3 t a / (2ħ) ≈ 1×10⁶ м/с (≈ c/300) Лінійна E(q) є точно розсіюванням релятивістично безмасового частиці, E = c|p|, де Fermi velocity vF відіграє роль швидкості світла. Розширення того ж 2×2 гамільтоніана поблизу K дає дві-вимірну безмасову Диракову рівняння, H = ħ vF (σx qx + σy qy), де σx, σy є матрицями Паулі, які діють не на реальний спін електрона, а на ступінь свободи гексагональної сітки — на який сайт A/B сидить амплітуда. Це вигаданий двозначний мітковий запис називається псевдоспіном, і саме тому переносники низької енергії графену описуються як безмасові Диракові фермиони, незважаючи на те, що графен зроблений з повністю звичайного, нерелятивістського вуглецю.

Псевдоспін має реальний, вимірюваний наслідок: він блокується в напрямку імпульсу (хіральність), що пригнічує звичайне відхилення назад від гладких потенціалів (електрон, що змінює знак k, повинен перевернути псевдоспін, чого не може зробити повільно змінюючийся потенціал) і створює Klein tunnelling — Дираковий електрон може пройти крізь будь-який достатньо високий і гладкий бар’єр з ймовірністю проходження, що наближається до 1 при нормальному падінні, протилежне звичайному квантовому туннелінгу, де ймовірність проходження падає експоненційно залежно від висоти бар'єра.

E±(q) ≈ ± ħ vF |q|              vF = 3 t a / (2ħ) ≈ 1×10⁶ m/s  (≈ c/300)

Допінг, проміжки та щільність станів

Оскільки щільність енергії на низьких частотах пропорційна |E| (вона є конусом, тому площа константної енергійної спілки зростає лінійно з |E|), вона зникає точно в точці Дірака — графен не має носіїв заряду при нулевому допінгу та нульовій температурі, що робить його напівпровідником, а не металом. Застосування зміщеної напруги змінює рівень Фермі в провідному конусі (електронний допінг) або в валетному конусі (допінг дірками), і щільність носіїв заряду безперешкодно та симетрично регулюється через нуль — що неможливо зробити з традиційним напівпровідником. Розрив симетрії A/B підрешіткою, наприклад, розміщенням графена на бортоні, щоб обидва підрешітки знаходилися в невідповідній реєстрації з субстратом, відкриває справжню щілину в К-точці, оскільки діагональ H(k) отримує дві різні енергії на місці — це один із кількох практичних способів зробити графен перемиканим як напівпровідник.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Graphene Band Structure і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.