Проростання тріщин: Енергетичний баланс Гріффітса та коефіцієнт напруженості від концентратора тріщини

Чому тріщина небезпечніша за дірку

Просвердліть невеликий круглий отвір у напруженому пластині, і напруження безпосередньо біля її краю буде в три рази більшим за прикладене дальнє напруження — добре відомий результат від Інгліса 1913 року. Цей коефіцієнт 3 не є приємним, але допустимим. Замініть отвір гостру тріщиною такого ж розміру, і математика повністю змінюється: для ідеально загостреного кінця тріщини лінійна еластичність передбачає нескінченне напруження, оскільки кінець має нульовий радіус кривизни. Реальний матеріал не може витримати нескінченного напруження, тому щось інше контролює, чи росте тріщина — і це те чим є енергія, а не напруження в точці.

Енергетичний баланс Гріффітса

А. А. Гріффітс у 1921 році отримав прозріння, коли перестав запитувати, чи перевищує напруження на кінці тріщини певний поріг, і замість цього поставив глобальне питання про енергію: чи знижує система свій загальний енергетичний стан, розширюючи тріщину невеликою величиною? Розширення тріщини на величину 'da' робить дві речі. Воно знімає еластичну деформаційну енергію, накопичену в матеріалі навколо тріщини (енергія вивільняється, оскільки нові розірвані поверхні вже не несуть навантаження) – назвемо величину звільнення енергії на одиницю нової площі як швидкість виділення енергії G. І воно створює дві нові вільні поверхні, що коштує 2γs на одиницю площі, де γs – поверхнева енергія матеріалу. Критерій Гріффітса полягає в тому, що тріщина росте точно тоді, коли виділена енергія дорівнює або перевищує спожиту:

G ≥ 2γs Критерій Гріффітса (енергетична форма) для прохідної тріщини довжиною 2a в нескінченному пластині під дією віддаленого напруження σ (плоскостная деформация): G = π σ² a / E Отже, критичне напруження, при якому тріщина стає нестабільною, σc = sqrt( 2 E γs / (π a) ) Ця формула вже повідомляє вам найважливіший якісний факт про крихке руйнування: критичне напруження падає як 1/√a. Подвоєння довжини тріщини не подвоює небезпеку, а множить її на √2, але – критично – це також означає, що немає безпечного напруження, при якому необмежено довгу тріщину неможливо буде розповсюдити. Експерименти Гріффітса в 1920-х роках з скловолокном, де дефекти практично неминучі, вперше продемонстрували, що виміряні міцності відстежують розмір дефектів, а не будь-яку єдину матеріальну константу.

G ≥ 2γs                  Griffith's criterion (energy form)

for a through-crack of length 2a in an infinite plate under
remote stress σ (plane stress):
   G = π σ² a / E

so the critical stress at which the crack becomes unstable is
   σc = sqrt( 2 E γs / (π a) )

Інтегральна щільність напружень: практична ручка

Вид Гріффітса є елегантним, але незручним для безпосереднього використання на реальних, неправильних геометріях. Джордж Айрвін переформулював його в 1950-х роках у термінах коефіцієнта концентрації напружень K, який характеризує міцність напруження у вузлі розлома, а не енергію всього тіла. Для розлому довжиною a під віддаленим навантаженням σ, у режимі I (об front розлом тягнеться прямо – домінуючий, найнебезпечніший режим):

K_I = Y · σ · sqrt(π a) Y = a безрозмірний геометрічний коефіцієнт (≈1 для довгого розлому у широкій пластині, більший біля вільного краю) напружений потік біля кінця, на відстані r та куті θ від нього: σ_yy(r, θ) ≈ K_I / sqrt(2π r) · f(θ) — сингулярність 1/√r K_I та G є двома поглядами на одне й те саме фізичне явище і безпосередньо пов'язані, G = K_I²/E′ (де E′ = E у плоскому напруженні, E/(1−ν²) у плоскому розтягуванні), отже, критерій енергії Гріффітса та критерій концентрації напружень Айрвіна передбачають однакові прогнози росту розломів. Розлом поширюється, коли K_I досягає міцності на розрив матеріалу K_IC — справжній матерії властивість, виміряне в МПа√м, яке відіграє ту ж роль для розщеплених тіл, що й межа текучості для нерозщеплених. Скло має K_IC близько 0,7-0,8 МПа√м; конструкційні сталі зазвичай становлять 50-150 МПа√м, що є основною причиною того, чому конструкції зі сталі витримують недоліки, які миттєво розбивали б скло.

K_I = Y · σ · sqrt(π a)        Y = a dimensionless geometry factor (≈1 for a
                               long crack in a wide plate, larger near a free edge)

stress field near the tip, at distance r and angle θ from it:
   σ_yy(r, θ) ≈ K_I / sqrt(2π r) · f(θ)      — the 1/√r singularity

Три режими навантаження та домінування режиму I

Розломи можуть бути завантажені трьома способами: Режим I (розкриття, площини відтягуються прямо в стороні), Режим II (впричному зсуві, площини ковзають одна вздовж одної у розломі) та Режим III (зовнішньому зсуву, розрив). Реальні розломи зазвичай є багаторежимними, але крихкі розломи мають тенденцію до викривлення під час росту, щоб локально максимізувати Режим I та мінімізувати зсув — розлом під нахиленим навантаженням деформується доки не буде йти перпендикулярно до максимального головного напруження, що є тим самим, що і хаотичні, відгалужені шляхи, які видно у розбитому склі та звивистий фронт у цій симуляції.

Поза ідеальною крихкістю: пластична зона

Реальні метали не є ідеально крихкими. Безпосередньо біля краю тріщини напруга, передбачена лінійною еластичністю, перевищує межу плинності σy, тому невелика область фактично пластично деформується замість того, щоб слідувати закону 1/√r, і не змінює форми. Оцінка Ірвина розміру цієї пластичної зони є:

r_p ≈ (1/2π) · (K_I / σy)² (пластовий стан; менша приблизно на 3× в пружному стані, де навколишній матеріал обмежує деформацію) Коли r_p невеликий порівняно з довжиною тріщини та розмірами зразка, лінійна еластична механіка руйнування (LEM) все ще застосовується з K_IC як міцністю — це умова малих деформацій, за якою розроблені всі тести K_IC. Коли пластична зона не невелика (тонкі арки пружного металу, більшість полімерів), край тріщини стає тупим, поглинає набагато більше енергії через пластичну деформацію, ніж поверхнева енергія, яку припустив Гріффітс, і аналіз потрібно перевести в еластично-деформовану механіку руйнування — інтеграл J та зміщення краєм тріщини, що пояснює, чому міцні пружні сплави набагато краще протидіють росту тріщин, ніж просте оцінка Гріффітса.

r_p ≈ (1/2π) · (K_I / σy)²        (plane stress; smaller by ≈3× in plane strain,
                                     where the surrounding material constrains yielding)

Втомлюваність: ріст без жодного окремого навантаження

Тріщина також може рости під дією циклічних навантажень, які індивідуально ніколи не досягають K_IC, один мікроскопічний проміжок на цикл, в режимі, який інженери називають «втомою». Стандартним емпіричним моделлю є закон Париса:

da/dN = C · (ΔK)^m де ΔK = K_max − K_min на цикл, C та m підбираються для кожного матеріалу. Оскільки ‘a’ зростає з кожним циклом, а K_I залежить від √a, ΔK також збільшується зі збільшенням тріщини, що призводить до прискорення росту тріщин – спочатку повільно, потім все швидше і швидше, поки K_max досягне K_IC та залишковий зв’язуючий матеріал раптово руйнується в остаточному, крихкому вибуху. Це пояснює, чому відмови від втоми часто здаються раптовими, незважаючи на те, що тріщина непомітно росла протягом дуже тривалого часу.

da/dN = C · (ΔK)^m            ΔK = K_max − K_min per cycle, C and m fitted per material

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Crack Propagation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.