Understanding Quantum Entanglement

Dwa siatki trójkątne, jedna komórkowo-hełmowa

Grafen to pojedyncza warstwa atomów węgla ułożonych w strukturze komórkowo-hełmowej, ale struktura komórkowo-hełmowa nie jest samą sobą siatką Bravaya — nie można zmapować każdego miejsca na każde inne miejsce przy użyciu jednego zestawu wektorów siatki, ponieważ atomy naprzemiennie ułożone mają różnie skierowane wiązania. Kluczem jest to, aby zobaczyć ją jako dwie wzajemnie przenikające się siatki trójkątne, A i B, każda doskonała siatka Bravaya, przesunięte względem siebie o odległość równą długości wiązania węgiel-węgiel δ ≈ 0,142 nm. Każdy atom A jest związany z trzema sąsiadami B, a odwrotnie.

Fakt, że podstawa dwuatomowa jest głównym powodem niezwykłej struktury elektronicznej grafenu. Prosta siatka trójkątna z jednym atomem na miejscu zajmowania dałaby zwykły pas lubowy o przerwach lub z metali; podstawa dwuatomowa pozwala na interferencję funkcji fal obu podsiatek, a w specjalnych punktach przestrzeni momentum ta interferencja powoduje dokładne zniesienie przerw energetycznych.

Ścisłe wiązanie na strukturze heksagonalnej

Standardowy model uwzględnia jedynie hopping pomiędzy orbitalami 2pz, które tworzą π wiązania grafenu – te orbitale, które przenoszą elektrony przewodzące – z energią hopingu t ≈ 2.7-2.8 eV. Zapis Hamiltona Blocha w bazie podstruktury A/B daje macierz 2x2 z zerowym wyznacznikiem (obydwie podstruktury są chemicznie identyczne) i elementem o niezerowej wartości, który sumuje fazę z wektorów trzech najbliższych sąsiadów:

H(k) = | 0 f(k) | f(k) = t · Σ_j exp(i k·δ_j) (j = 1,2,3) | f*(k) 0 | E±(k) = ± |f(k)| = ± t · sqrt( 3 + 2cos(k·a1) + 2cos(k·a2) + 2cos(k·(a1−a2)) ) Diagonalizacja macierzy 2x2 daje dwie pasma, E+ (przewodzące) i E- (wartościowe), symetryczne względem zera dzięki konstrukcji – ta symetria elektron-dziurka jest bezpośrednim wynikiem dwustronnej struktury A/B, a nie przypadkową. Rozkład energii jest okresowy w obszarze strefy Brillouinowej grafenu, która sama stanowi obraz przestrzenny odwrotne rzędy heksagonalnego wzoru kratowego.

H(k) = | 0        f(k) |          f(k) = t · Σ_j exp(i k·δ_j)   (j = 1,2,3)
       | f*(k)    0    |

E±(k) = ± |f(k)| = ± t · sqrt( 3 + 2cos(k·a1) + 2cos(k·a2) + 2cos(k·(a1−a2)) )

Gdzie się zamyka przerwa: K i K’

|f(k)| jest zerowe tam, gdzie dokładnie wygasają trzy termy fazowe, co zdarza się w dwóch niesymetrycznych narożnikach obszaru Brillouina sześciokątnego, konwencjonalnie nazywanych K i K’ (zwanych również K i K-prime, czyli dolinami). W tych punktach pas przewodzący i pas walencyjny stykają się bez przerwy w szczelinie — jest to punkt Diraca, a ponieważ nieobrobiony grafen ma dokładnie jeden elektron na orbital pz, poziom fermiego znajduje się dokładnie tam. Dlatego grafen nie jest ani metalem (brak częściowo wypełnionego pasa oddalony od specjalnego punktu), ani półprzewodnikiem (brak przerwy), lecz półmetale.

Dlaczego oś jest liniowa i dlaczego to oznacza "bezmasowość"

Rozwiń f(k) w małym momencie p zmierzonym od K: stałe i kwadratowe termy zanikają dzięki geometrii komórki heksagonalnej, a przetrwa tylko termin liniowy względem p:

E±(q) ≈ ± ħ vF |q| vF = 3 t a / (2ħ) ≈ 1×10⁶ m/s (≈ c/300) Liniowa E(q) jest dokładnie rozpraszaniem relatywistycznego cząstki bezmasowej, E = c|p|, gdzie prędkość Fermiego vF pełni rolę prędkości światła. Rozwijanie tego samego hamiltonianu 2×2 w pobliżu K daje równanie Diraca dwuwymiarowe bezmasowe, H = ħ vF (σx qx + σy qy), gdzie σx, σy to macierze Pauliego działające nie na rzeczywisty spin elektronu, ale na stopień swobody podstruktury A/B – na którym znajduje się amplituda. Ta fałszywa dwuwartościowa etykieta nazywana jest pseudospinem, a to dlatego, że nośniki o niskiej energii w grafitu są opisane jako bezmasowe cząstki Diraca, mimo że grafit składa się z idealnie zwykłego, nie-relatywistycznego węgla.

Pseudospin ma realną, mierzalną konsekwencję: zablokowany jest w kierunku momentu p (chirality), co tłumi zwykłe rozpraszanie wsteczne na gładkich potencjałach (cząstka elektronowa cofająca się k musiałaby odwrócić pseudospin, czego nie może zrobić powolnie zmieniający się potencjał) i generuje tunelowanie Diraca – cząstka Diraca może przechodzić przez arbitralnie wysoki, wystarczająco gładki barierę potencjału z prawdopodobieństwem transmisji zbliżającym się do 1 przy normalnym padzie, co jest odwrotnością zwykłego tunelowania kwantowego, gdzie prawdopodobieństwo transmisji spada wykładniczo wraz ze wzrostem wysokości bariery.

E±(q) ≈ ± ħ vF |q|              vF = 3 t a / (2ħ) ≈ 1×10⁶ m/s  (≈ c/300)

Doping, puste stany i gęstość stanów

Ponieważ gęstość stanów na niskich energiach jest proporcjonalna do |E| (jest to konus, więc pole stałego cięcia energii rośnie liniowo z |E|), zanika dokładnie w punkcie Diraca — grafen nie posiada nośników przy zerowym dopingowaniu i zerowej temperaturze, co czyni go semimetalem zamiast metalem. Stosowanie napięcia bramki przesuwa poziom Fermi'ego do góry w konus kondukcyjny (doping elektronowy) lub w dół w konus walencyjny (doping dziurkowy), a gęstość nośników płynnie i symetrycznie reguluje się wokół zera — cecha, której nie oferują tak czysto tradycyjne półprzewodniki. Przerwanie symetrii podstruktury A/B, na przykład poprzez umieszczenie grafenu na borowym nitrylu heksagonalnym, w którym obie podstruktury zajmują niesymetryczne ustawienie względem substratu, otwiera prawdziwy próg w punkcie K, ponieważ diagonale H(k) otrzymują dwie różne energie stykowe; jest to jeden z nielicznych praktycznych sposobów na uczynienie grafenu przełączalnym jak półprzewodnik.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Graphene Band Structure i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.