Геометричне Брунова Поширення та Ціни Акцій

Чому ціни акцій моделюються множинним способом, а не додаванням

Простий випадковий рух — зміни ціни за рахунок випадкового додаткового значення на кожному кроці — має очевидний недолік для ціни акції: він може бути від’ємним, і рух на 1 долар означає щось зовсім інше для акції в розмірі 5 доларів, ніж для акції в розмірі 500 доларів. Те, що приблизно відповідає дійсності, це те, що процентні прибутки є приблизно випадковою та незалежною величиною, а не абсолютними змінами ціни. Геометричне бровнівське рух (GBM) будує модель безпосередньо з цього спостереження: миттєвий відсоток зміни ціни є детермінованим плином плюс гауссова шум.

dS = μ·S·dt + σ·S·dW

  S  = price
  μ  = drift (expected return rate)
  σ  = volatility
  dW = increment of a Wiener process (Brownian motion)

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Розв’язування стохастичного диференціального рівняння

Застосовуючи лемму Іто – правило ланцюга для стохастичних обчислень, необхідне через те, що dW² не зникає так само, як і при звичайному інфінітесні квадраті – до ln(S) дає пряме замкнене формулювання рішення, тому GBM достатньо обчислювальний, щоб бути стандартним підручним моделлю:

S(t) = S(0) · exp[ (μ − σ²/2)·t + σ·W(t) ]

Дискретизовано для моделювання, на один крок часу Δt:

S(t+Δt) = S(t) · exp[ (μ − σ²/2)·Δt + σ·√Δt·Z ], де Z ~ N(0,1)

Цей член −σ²/2 легко пропустити і він важливий: це поправка Іто, що означає, що очікувана ціна зростає з швидкістю μ, тоді як середній (медіанний) темп зростання для будь-якого окремого змодельованого шляху становить μ−σ²/2, строго менше ніж μ, коли волатильність не дорівнює нулю. Це не артефакт моделювання – це реальний математичний факт про накопичення випадкових відсоткових прибутків, який іноді називають «волатильним опором»: акція, яка зростає на 50% і падає на 50%, в кінцевому підсумку опускається на 25%, а не повертається до початкового рівня, і чим вища волатильність, тим більшою буде ця різниця між середнім арифметичним прибутком та реалізованим накопиченим прибутком.

S(t) = S(0) · exp[ (μ − σ²/2)·t + σ·W(t) ]

Discretised for simulation, one time step Δt:
S(t+Δt) = S(t) · exp[ (μ − σ²/2)·Δt + σ·√Δt·Z ],   Z ~ N(0,1)

Логнормальний розподіл, а не нормальний

Оскільки ln(S(t)) за конструкцією є нормально розподіленим (це ln S(0) плюс лінійна функція від Гаусового W(t)), то й сама ціна S(t) має логнормальний розподіл — завжди додатня (вирішуючи проблему з негативними цінами у простому випадковому процесі), і має правостороннє викривлення: розподіл має довгий хвіст до великих прибутків та обмежений знизу рівень нуль, що відносно добре відповідає асиметрії реальних розподілів повернень на коротко-та середньострокових горизонтах.

Зв’язок Блек-Шольса

БРМ – це не просто зручна іграшка — це точний основний процес ціноутворення, який припускає модель Блек-Шольса та Мертона (Black, Scholes and Merton, 1973), а саме той факт, що БРМ залишається стандартною моделлю першого рівня для цін акцій: така ж логарифмічна нормальність, яка робить БРМ простою у симуляції, також змушує частковий диференціальний рівняння Блек-Шольса бути розв’язаним аналітично, надаючи опціонні ціни як явну формулу замість необхідності чисельного розв’язку.

Геометричне Брунова Поширення (GBM) не завжди працює

Реальні ринки відрізняються від припущень GBM у добре задокументованих спосібів: кластеризація волатильності (великі рухи часто супроводжуються великими рухами, що суперечить постійній σ моделі GBM), товсті хвости (екстремальні рухи відбуваються набагато частіше, ніж передбачає логнормальний розподіл — крах 1987 року був подією на багато стандартних відхилень за припущеннями GBM), та стрибки (новинні події викликають неперервні проміжки цін, які жоден безперервний дифузійний процес не може утворити). Розширення, такі як моделі GARCH (змінна волатильність), моделі стрибків-диффузії (Мертон, 1976) та моделі стохастичної волатильності (Гестон, 1993), кожне послаблює одне з цих припущень. GBM залишається відправною точкою саме тому, що вона ізолює, в найпростішому можливій закритій формі, те, що робить чисте випадкове нагромадження само по собі — все інше є коригуванням, яке додається зверху.

Часті запитання

Чому симуляційне ціноутворення ніколи не опускається в від’ємні значення?

Це тому, що моделі GBM відсоткові зміни, а не абсолютні. Випадкова величина – ціна – визначається експонентою, exp[(μ − σ²/2)t + σW(t)], і експонента завжди позитивна незалежно від того, яке значення приймає випадкова величина Гаусса W(t). Ця логнормальна структура є основною причиною, чому GBM замінив простий доданий випадковий рівень як стандартну модель ціноутворення акцій.

Чому середнє зростання симуляційного шляху менше за μ?

Це через термін Іто коригування −σ²/2 в аналітичному розв’язку: це реальний математичний наслідок накопичення випадкових відсоткових прибутків, а не помилка. Шлях, який зростає на X% і падає на X%, в результаті стає негативним, і вища волатильність σ робить цю різницю між арифметичним очікуваним прибутком μ та типовим реалізованим накопиченим темпом зростання більшою – іноді її називають ‘волатильним тягарем’.

Чи є GBM тим, як справді поводять себе реальні ринки акцій?

Приблизно, в короткостроковій та середньостроковій перспективі, але воно не враховує декілька задокументованих особливостей реальних ринків: кластеризацію волатильності (спокійні та турбулентні періоди збігаються, що суперечить постійній σ GBM), товстіші хвостатість, ніж передбачає логнормальний розподіл, і раптові стрибки цін через новини. GBM все ще є стандартною початковою моделлю – і точним припущенням, що лежить в основі оцінки опціонів Блэка-Шольца – тому що це найпростіша модель, яка правильно відображає велику картину (позитивні ціни, приблизно логнормальні прибутки).

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Stock Price — GBM і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Stock Price — GBM

Геометричне Брунова Поширення: Стохастична Модель, що Лежить в Основі Ціни Акцій та Моделі Блек-Шольса