Ruch Browna Geometrycznego i Ceny Akcji

Dlaczego ceny akcji są modelowane mnożeniem, a nie dodawaniem

Prosta losowa ścieżka – zmiany cen o losową wartość dodawną w każdym kroku – ma oczywisty problem z cenami akcji: może być ujemna, a ruch o 1 dolar oznacza coś zupełnie innego dla akcji za 5 dolarów niż dla akcji za 500 dolarów. To, co wydaje się przynajmniej przybliżeniu zachodzić, to fakt, że zwroty procentowe są w miarę losową i niezależną ilością, a nie zmiany cen bezwzględnie, jak na przykład. Ruch Brownowski geometryczny (GBM) buduje model bezpośrednio z tego obserwacji: natychmiastowy procentowy wzrost ceny jest deterministycznym dryfem plus szum gaussowski.

dS = μ·S·dt + σ·S·dW

  S  = price
  μ  = drift (expected return rate)
  σ  = volatility
  dW = increment of a Wiener process (Brownian motion)

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Rozwiązanie równania różnicowego stochastycznego

Zastosowanie twierdzenia Ito — zasady łańcuchowej dla rachunku stocha-tycznego, która jest potrzebna, ponieważ dW² nie zanika w taki sposób jak zwykły nieskończony kwadrat — do ln(S) daje bezpośrednie rozwiązanie analityczne, dlatego też GBM jest wystarczająco wykonalny, aby być domyślnym modelem z tekstu podręcznika:

S(t) = S(0) · exp[ (μ − σ²/2)·t + σ·W(t) ]

Dyskretizowany dla symulacji, na jednym kroku czasowym Δt:

S(t+Δt) = S(t) · exp[ (μ − σ²/2)·Δt + σ·√Δt·Z ], gdzie Z ~ N(0,1)

S(t) = S(0) · exp[ (μ − σ²/2)·t + σ·W(t) ]

Discretised for simulation, one time step Δt:
S(t+Δt) = S(t) · exp[ (μ − σ²/2)·Δt + σ·√Δt·Z ],   Z ~ N(0,1)

Logiczny, nie normalny

Ponieważ ln(S(t)) jest rozłożone normalnie przez konstrukcję (jest to ln S(0) plus liniowa funkcja Gaussa W(t)), cena S(t) sama w sobie ma rozkład log-normalny — zawsze dodatnia (rozwiązując problem z negatywną ceną prostego losowego szlaku), i skośny w prawo: rozkład ma długi ogon skierowany ku dużym zyskom i jest ograniczony u dołu zerem, co w rozsądnym stopniu odpowiada obserwowanemu asymetrem dystrybucji zwrotów na krótkich-do-średnich horyzontach.

Połączenie Blacka-Scholesa

GBM nie jest tylko wygodnym symulowaniem – to dokładny proces bazowy, który przyjmuje model Blacka-Scholesa (Black, Scholes i Merton, 1973), a to właśnie dlatego GBM pozostaje domyślnym pierwszym modelem nauczanym dla cen akcji: ten sam załoga log-normalna, która sprawia, że GBM jest łatwy do symulacji, czyni również równanie różniczkowe cząstkowe Blacka-Scholesa rozwiązywalnym w zamknięciu, dając ceny opcji jako wzór jawny zamiast wymagać rozwiązania numerycznego.

Gdzie GBM przestaje działać

Rynki finansowe odbiegają od założeń GBM w dobrze udokumentowanych sposób: klastrowanie zmienności (duże ruchy są następovány przez duże ruchy, co stoi w sprzeczności z stałą σ w GBM), grube ogony (ekstremalne ruchy zdarzają się częściej niż przewiduje rozkład log-normalny – kryzys w 1987 roku był wydarzeniem wielo-odchyleniem od średniej pod założeniami GBM), i skoki (wydarzenia informacyjne powodują dyskontynujące przerwy cenowe, których ciągły proces dyfuzji nie może wytworzyć w ogóle). Rozszerzenia takie jak modele GARCH (zmienność w czasie), modele dyfuzji z skokami (Merton, 1976) i modele zmienności stochastycznej (Heston, 1993) każde łagodzą dokładnie jedną z tych założeń. GBM pozostaje punktem wyjścia, ponieważ izoluje w najprostszym możliwym modelu o zamkniętej formie, co robi czysty losowy składanie – wszystko inne jest korektą dodawaną na jego szczycie.

Frequently asked questions

Dlaczego symulowana cena nigdy nie spada poniżej zera?

Ponieważ modele GBM obliczają procentowy wzrost, a nie wartość bezwzględną. Losowa wielkość – cena – jest zdefiniowana za pomocą funkcji wykładniczej, exp[(μ − σ²/2)t + σW(t)], a funkcja wykładnicza zawsze jest dodatnia, niezależnie od tego, jaką wartość przyjmuje W(t) oparte na rozkładzie Gaussa. Ta struktura log-normalna jest głównym powodem, dla którego GBM zastąpił prosty model losowego szlopu addytywnego jako standardowy model ceny akcji.

Dlaczego mediana ścieżek symulowanych ma niższą stopę wzrostu niż μ?

Wynika to z poprawki Itô terminu −σ²/2 w rozwiązaniu analitycznym: jest to realna konsekwencja kumulowania losowych procentowych zwrotów, a nie błąd. Ścieżka rosnąca o X% i spadająca o X% kończy się netto negatywnie, a wyższa zmienność σ powoduje, że ta przepaść między oczekiwanym wzrostem arytmetycznym μ a typowym zrealizowanym kumulowanym tempem wzrostu jest większa – czasami nazywana 'dragiem zmienności'.

Czy GBM odzwierciedla rzeczywiste zachowanie rynków giełdowych?

W przybliżeniu, w krótkich i średnich horyzontach czasowych, ale pomija wiele udokumentowanych cech rynków: klastrowanie zmienności (spokojne i burzliwe okresy gromadzą się, sprzecznie z stałą σ w GBM), grubsze ogony niż przewiduje rozkład log-normalny oraz nagłe skoki cen spowodowane wiadomościami. GBM nadal stanowi standardowy model początkowy – i dokładną założenie stojące za wyceną opcji Black-Scholes – ponieważ jest to najprostszy model, który prawidłowo oddaje ogólną sytuację (dodatnie ceny, przybliżone zwroty log-normalne).

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Stock Price — GBM i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Stock Price — GBM

Ruch Browna Geometrycznego: Model Stochastyczny Za Lewem Cen Akcji i Black-Scholes