АМ проти FM: Бічні доріжки, Функції Бесселя та чому FM звучить чистіше

Модуляція: подорож повідомлення на хвилі носія

Радіо потребує сигналу, який може передаватися через антену та поширюватися на радіочастотах – звукова хвиля від кількох сотень герців до декількох кілогерців має довжину в кілька кілометрів, що вимагає непрактично великої антени. Модулювання вирішує цю проблему, змінюючи певні властивості високочастотної носійної хвилі пропорційно нижній частоті сигналу повідомлення, дозволяючи повідомленню подорожувати на частоті, де практичні антени та розподіл спектру працюють.

АМ модуляція

АМ змінює амплітуду носія пропорційно сигналу повідомлення m(t), не змінюючи при цьому його частоти та фази:

s(t) = [A_c + m(t)] · cos(2π f_c t) = A_c·cos(2πf_c t) + m(t)·cos(2πf_c t)

Множення сигналу на косинусоїду в часовій області еквівалентне, згідно з модулюючою теоремою, зміщенню всього його спектру вверх і вниз на f_c у частотній області. Якщо m(t) містить частоти до B Гц, то модуляція займає смугу від f_c−B до f_c+B — спектр повідомлення з'являється двічі: один відображений над носієм (верхня бічна смуга) та інший під ним (нижня бічна смуга), обидві є точними (зайвими) копіями спектрального вмісту повідомлення. Стандартна АМ передача включає верхню та нижню бічні смуги, а також сам носій, який легко демодулюється (діодний детектор безпосередньо відновлює m(t) з обкладинки s(t)), але марно витрачає як пропускну здатність, так і потужність на зайві бічні смуги та носій, які не несуть жодної інформації.

Модуляція однією бічною смугою (ОБС) видаляє одну з бічних смуг та носій для повернення цієї пропускної здатності та потужності, що призводить до більш складної приймача.

s(t) = [A_c + m(t)] · cos(2π f_c t)
     = A_c·cos(2πf_c t) + m(t)·cos(2πf_c t)

Модуляція частоти

FM відрізняється тим, що миттєва частота носія змінюється пропорційно повідомленню, а амплітуда залишається постійною:

s(t) = A_c · cos( 2πf_c t + 2πk_f ∫₀ᵗ m(τ) dτ ) k_f = чутливість до частоти (Гц на одиницю m) миттєва частота: f(t) = f_c + k_f·m(t) Оскільки інформація передається через частоту, а не амплітуду, FM значно стійкіша до шуму амплітуди (статичного перешкодження, електричних перешкод), який зазвичай спотворює AM — основна причина, чому радіомовлення FM звучить чистіше, ніж радіомовлення AM. У цьому випадку є компроміс щодо пропускної здатності: на відміну від фіксованої 2B у AM, зайнята пропускна здатність FM залежить як від ширини смуги повідомлення, так і від того, наскільки часто дозволено змінювати частоту.

s(t) = A_c · cos( 2πf_c t + 2πk_f ∫₀ᵗ m(τ) dτ )

  k_f = frequency sensitivity (Hz per unit of m)
  instantaneous frequency: f(t) = f_c + k_f·m(t)

Функції Бесселя та смуга спектру FM-сигналу

Для сигналу, що складається з одного тону на частоті f_m, FM генерує не лише два бокові смуги, але й безліч інших, розташованих у всіх цілих кратів до частоти носія від частоти носія, із амплітудами, заданими функціями Бесселя першого роду J_n(β):

s(t) = A_c · Σ_{n=−∞}^{∞} J_n(β) · cos(2π(f_c + n·f_m)t) β = k_f·A_m / f_m (індекс модуляції) Індекс модуляції β визначається як відношення пікової зміни частоти до частоти повідомлення, і він контролює кількість бокових смуг, які несуть значну енергію: J_n(β) швидко спадає, коли n перевищує приблизно β+1, тому вищі порядки бокових смуг за межами цього значення є незначними.

Законом Карсона можна перетворити це на практичну оцінку ширини смуги, яка охоплює приблизно 98% потужності сигналу:

BW ≈ 2 (Δf + f_m) = 2 f_m (β + 1) Δf = пікова зміна частоти = k_f·A_m FM-радіохвилі використовують зміну ±75 кГц відносно максимальної аудіочастоти близько 15 кГц, що дає β ≈ 5 і ширину смуги Карсона приблизно 180 кГц — майже як канал у 200 кГц, тому FM-станції звучать насичено та з повною шириною смуги, при цьому комфортно займаючи призначену частину спектру. Це також пояснює те, що покращена стійкість до шуму FM не є безкоштовною: розповсюдження одного й того ж повідомлення на ширшу смугу є точним механізмом (згідно з формулою канапітної місткості Шеннона), який забезпечує покращену стійкість до шуму.

s(t) = A_c · Σ_{n=−∞}^{∞}  J_n(β) · cos(2π(f_c + n·f_m)t)

  β = k_f·A_m / f_m     (modulation index)

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте AM/FM Modulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.