Ряди Фуріє: Будівництво Будь-якої Хвилі з Синусів

Будь-яка періодична хвиля є сумою синусів

Заява Джозефа Фуріє з 1807 року — яка на той час здавалася безглуздою — полягає в тому, що будь-яка розумно добре поводиться періодична функція може бути записана як сума синусів і косинусів у цілих кратних її фундаментальної частоти. Для функції f(x) з періодом 2π це виглядає так:

f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ·cos(nx) + bₙ·sin(nx)], n = 1, 2, 3, ... aₙ = (1/π) ∫ f(x)·cos(nx) dx за один період bₙ = (1/π) ∫ f(x)·sin(nx) dx за один період Кожен член є гармонією: n = 1 — це фундаментальна, n = 2 — це перший надтоновий у двічі більшій частоті і так далі. Коефіцієнти aₙ та bₙ знаходяться шляхом проектування f на кожен синус і косинус за допомогою вищезазначеного інтеграла — точно така сама операція, як розкладання вектора на ортогональні компоненти, оскільки синуси та косинуси різних цілих частот є ортогональними функціями за один період.

f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ·cos(nx) + bₙ·sin(nx)],  n = 1, 2, 3, ...

aₙ = (1/π) ∫ f(x)·cos(nx) dx   over one period
bₙ = (1/π) ∫ f(x)·sin(nx) dx   over one period

Епіциклі: геометрія картини

Кожен синусний член aₙcos(nx) + bₙsin(nx) можна перемалювати як обертальний важіль фіксованої довжини, що обертається з частоти n, яка є основою. З’єднайте достатню кількість таких важелів один за одним, кожен з яких обертається на власному гармонічному рівні, і вершина останнього важеля відтворює цільову форму хвилі. Це — конструкція епіциклів – та сама геометрична ідея, яка, до речі, використовувалася Птолемеєм для моделювання рухів планет, і тому причина того, що анімація ряду або хвилі зубчастої форми виглядає як каскад обертаючих коліс, які малюють криву в реальному часі.

Квадрат, зубчастий ряд, трикутник: три канонічні серії

Різні форми цілей потребують різного гармонійного вмісту. Квадратна хвиля з амплітудою 1 використовує лише непарні гармоніки, що зменшуються пропорційно 1/n:

квадрат(x) = (4/π) · [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + ... ] Зубчастий ряд використовує кожну гармоніку, парну та непарну, що зменшується з тією ж швидкістю 1/n, тоді як трикутна хвиля використовує лише непарні гармоніки, але зменшується набагато швидше, пропорційно 1/n². Ця швидша деградація не є випадковістю: трикутна хвиля є безперервною з добре визначеним ухилом майже всюди, тоді як квадратна хвиля стрибком непослідовно, і загальне правило полягає в тому, що чим плавніше функція, тим швидше зменшуються її коефіцієнти Фур'є у просторі x — гладкість у просторі x купує вам рідкість у частотному просторі.

square(x) = (4/π) · [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + ... ]

З явищем підвищення

Якщо обрізати хвильову форму на будь-яку кінцеву кількість членів, то в момент стрибка виникає певна аномалія: часткова сума перевершує справжнє значення приблизно на 9% від висоти стрибка, незалежно від кількості доданих гармонік. Додавання більшої кількості гармоній звужує область, де спостерігається перенасичення, але не зменшує її величину – це явище підвищення (Gibbs phenomenon), яке є прямим наслідком спроби наблизити розрив гладкими, обмеженими коливаннями. Воно проявляється будь-який раз, коли різкий край зустрічається з обрізаною частотною репрезентацією, починаючи від спотворення звуку та закінчуючи артефактами обвуглювання навколо гострих країв у зображеннях JPEG.

Теорія Парсеваля: енергія накопичується в частотному просторі

Теорія Парсеваля стверджує, що загальна енергія періодичного сигналу, усереднена по одному періоду, дорівнює сумі енергій кожного гармонічного:

(1/2π) ∫ f(x)² dx = (a₀/2)² + (1/2) Σ (aₙ² + bₙ²)

Це пояснює, чому спектр частот має сенс: площа кожного стовпця буквально дорівнює частці енергії кожної гармоніки від загальної енергії сигналу, а сума всіх стовпців точно відповідає енергії в часовій області. Це також теоретичний фундамент для стиснення аудіо та зображень з втратами – викидайте гармоніки з найменшою енергією і втрачатимете найменше помітних деталей за кожен збережений біт.

(1/2π) ∫ f(x)² dx = (a₀/2)² + (1/2) Σ (aₙ² + bₙ²)

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Fourier Series і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.