Seria Fouriera: Budowanie Jakiejkolwiek Fali Z Sinusoid

Jakiekolwiek fale okresowe są sumą funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie Josephaa Fouriera z 1807 roku – wówczas szokujące – głosi, że każda stosunkowo dobrze zachowana funkcja okresowa może być zapisana jako suma funkcji sinus i cosinus w całkowitych mnożnikach jej częstotliwości podstawowej. Dla funkcji f(x) o okresie 2π, ta suma to:

f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ·cos(nx) + bₙ·sin(nx)], gdzie n = 1, 2, 3, ... aₙ = (1/π) ∫ f(x)·cos(nx) dx w jednym okresie bₙ = (1/π) ∫ f(x)·sin(nx) dx w jednym okresie Każdy wyraz jest harmonicznym: n=1 to częstotliwość podstawowa, n=2 to pierwsza rezonansowa o podwojonej częstotliwości i tak dalej. Współczynniki aₙ i bₙ są obliczane poprzez projekcję f na każdy sinus i cosinus za pomocą powyślnego całkowania – dokładnie taka sama operacja jak rozkład wektora na ortogonalne składowe, ponieważ funkcje trygonometryczne o różnych całkowitych mnożnikach częstotliwości są funkcjami ortogonalnymi w jednym okresie.

f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ·cos(nx) + bₙ·sin(nx)],  n = 1, 2, 3, ...

aₙ = (1/π) ∫ f(x)·cos(nx) dx   over one period
bₙ = (1/π) ∫ f(x)·sin(nx) dx   over one period

Epicykle: geometryczna wizja

Każde wyrażenie postaci iloczynowej aₙcos(nx) + bₙsin(nx) można narysować jako obracającą się ramę o stałej długości, która obraca się z częstotliwością n razy podstawową. Łącząc wystarczającą liczbę takich ram jedna za drugą, każda obracająca się w swoim harmonicznym tempie, koniec ostatniej ramy rysuje docelowy kształt fali. Jest to konstrukcja epicykla – ta sama idea geometryczna, która incidentally wykorzystana została przez Ptolemeusza do modelowania ruchu planet, i dlatego animacja szeregu Fouriera kwadratu lub fali trójkątnej wygląda jak kaskada obracających się kół rysujących krzywą w czasie rzeczywistym.

Kwadrat, fala trójkątna, trójkąt: trzy kanoniczne serie

Różne kształty docelowe wymagają innego współczynnika harmonicznego. Fala kwadratowa o amplitudzie 1 wykorzystuje wyłącznie harmoniczne nieparzyste, zanikające jak 1/n:

square(x) = (4/π) · [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + ... ] Fala trójkątna wykorzystuje wszystkie harmoniczne, parzyste i nieparzyste, zanikające w tym samym tempie 1/n, podczas gdy fala o kształcie ostrołuku wykorzystuje wyłącznie harmoniczne nieparzyste, ale zanika szybciej, jak 1/n². Ten szybszy spadek nie jest przypadkiem: fala o kształcie ostrołuka jest ciągła z dobrze zdefiniowanym nachyleniem prawie wszędzie, podczas gdy fala kwadratowa skacze dyskontynuowanie, a ogólną zasadą jest, że im gładziej funkcja, tym szybciej współczynniki Fouriera zanikają — gładkość w przestrzeni x daje nam rzadkość w przestrzeni częstotliwości.

square(x) = (4/π) · [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + ... ]

Zjawisko Gibbsa

Przerwij szereg fali kwadratowej przy dowolnej skończonej liczbie wyrazów i pojawia się coś dziwnego tuż przy skoku: suma częściowa przekracza rzeczywistą wartość o około 9% wysokości skoku, niezależnie od tego, ile wyrazów dodasz. Dodanie więcej harmonicznych zawęża obszar, w którym występuje przekroczenie, ale nigdy nie zmniejsza jego wysokości – to zjawisko Gibbsa, bezpośredwie wynikające z próby przybliżenia dyscontinuity (przerw) gładkimi, ograniczonymi oscylacjami. Występuje wszędzie tam, gdzie ostry brzeg spotyka się z przyciętym przedstawieniem częstotliwości, od clippingu audio po artefakty obrazowania JPEG wokół twardych krawędzi.

Twierdzenie Parsevala: energia sumuje się w przestrzeni częstotliwości

Twierdzenie Parsevala mówi, że całkowita energia sygnału okresowego, uśredniona przez jeden okres, równa się sumie energii w każdym harmonicznym:

(1/2π) ∫ f(x)² dx = (a₀/2)² + (1/2) Σ (aₙ² + bₙ²)

Dlatego wykres widma częstotliwości jest sensowny: kwadratowa wysokość każdej belki dosłownie odpowiada udziałowi harmonicznego w całkowitej mocy sygnału, a belki sumują się dokładnie z energią w dziedzinie czasu. Jest to również teoretyczne podstawy kompresji audio i obrazów stratnych – odrzucając harmoniczne o najmniejszej energii, tracimy najmniej zauważalne informacje na każdą zaoszczędzoną jednostkę bitu.

(1/2π) ∫ f(x)² dx = (a₀/2)² + (1/2) Σ (aₙ² + bₙ²)

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Fourier Series i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.