Фордські кола та рядок Фреє: Коло для кожного дробу

Круг для кожної дробу

Візьміть будь-який дріб p/q у найменших цілих коефіцієнтах між 0 і 1. Намалюйте круг, дотичний до числової осі в точці x = p/q, що розташований над лінією, з радіусом 1/(2q²). Зробіть це для кожного спрощеного дробу, і ви отримаєте круги Форда, представлені Лестером Фордом-старшим у 1938 році. Дроби з малими знаменниками — 0/1, 1/1, 1/2 — мають великі кола; дроби з великими знаменниками отримують мізерно малі. Чудова річ полягає в тому, що відбувається між будь-якими двома цими колами: вони або стоять окремо, або вони точно дотичні, і вони ніколи не перекриваються.

radius(p, q) = 1 / (2 * q * q)     // circle for reduced fraction p/q
centre(p, q) = (p/q, 1/(2*q*q))     // tangent to the x-axis at p/q

// two Ford circles for p1/q1 and p2/q2 are tangent  ⇔
|p1*q2 - p2*q1| = 1                 // i.e. the fractions are Farey neighbours

Дотичні, ніколи не перекриваючись — і доказ у формі однієї нерівності

Два кола Форда для зменшених дробів p₁/q₁ та p₂/q₂ зовнішньо дотикаються лише тоді, коли |p₁q₂ − p₂q₁| = 1, інакше вони завжди строго розділені — ніколи не перекриваються, незалежно від того, наскільки близько числові значення двох дробів однакові. Це випливає з короткого розрахунку відстаней: відношення відстані між двома центрами до суми двох радіусів, а різниця дає квадратний корінь із |p₁q₂ − p₂q₁|, що дорівнює нулю точно в точці дотику та строго позитивний інакше. Це чистий приклад аналітичного факту (дотичні кола), який повністю контролюється числом-теоретичною умовою (визначників знаменників і чисельників дорівнює 1).

Farey sequence та медіанти

Farey sequence F(n) містить усі нескоротні дроби між 0 і 1 з чиселелю ґрупою не більше n, впорядковані за зростанням. F(1) = {0/1, 1/1}, F(2) додає 1/2, F(3) додає 1/3 та 2/3, і так далі. Дві послідовні Farey дроби a₁/b₁ та c₁/d₁ відповідають дотичним колам Форда, а зображення рядів кіл, що розташовані вздовж числової осі, є безпосереднім візуальним представленням сусідніх Farey чисел.

Послідовність будується за допомогою медіантів: між будь-якими двома сусідами Farey a/b та c/d, дріб (a+c)/(b+d) – медіант, а не середнє арифметичне – є унікальним дробом з найменшим можливим знаменником, який щільно розташований між ними. Вставлення його на кожному кроці і є тим самим способом, яким F(n) перетворюється в F(n+1), де номери знаменників залишаються ≤ n+1. Геометрично, коло медіанту – це найбільший круг, який поміщається у вигнутий трикутний проміжок між двома сусідніми колами та числовою віссю, дотичний до всіх трьох.

Під деревою Штерн-Броко та безперервні дроби

Повторне вставлення медіан без обмеження знаменника генерує кожну додатну раціональну кількість точно один раз, організовану у дерево Штерн-Броко — починаючи з 0/1 та 1/0 (що представляють 0 та нескінченність) та безперервне вставлення медіан створює бінарне дерево, де кожна раціональна кількість представлена у найпростішому вигляді автоматично, без необхідності будь-якого спрощення. Серія Ферей (F(n)) є простою цією деревом, прочитаною рівень за рівнем та обрізаною знаменниками ≤ n. Це пов'язує кола Форда з безперервними дробами: шлях від кореня до будь-якої раціональної кількості p/q у дереві Штерн-Броко, прочитаний як послідовність рухів вліво/вправо, безпосередньо кодує розклад p/q на безперервний дріб.

Чому це має значення за межами гарної картинки

Цикли Форда та послідовності Ферея є геометричним фундаментом для Диофантової апроксимації — вивчення того, наскільки добре ірраціональні числа можна наблизити дробами. Проміжки між цикли Форда обмежують те, наскільки близько будь-який дріб з заданим знаменником може наблизитися до цільового дійсного числа, що є суттю таких теорем, як теорема Гурвіца про раціональне наближення. Одна й та сама техніка лежить в основі зв’язку між алгоритмом Штерн-Брокот/Євклідовим та послідовностями, який використовується в деяких обчислювальних задачах з теорією чисел і, більш химерно, у розробці музичних систем налаштування та наближення передаточних співвідношень, де потрібно отримати найпростіший дріб, що відповідає не раціональному співвідношенню.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Ford Circles & Farey Sequence і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.