Голка Буффона: Як кинута голка відтворює π

Експеримент 18-го століття, який все ще працює в браузері

У 1733 році Жорж-Луї Леклюерк, герцог де Баффон, поставив питання, яке виявилося замаскованим всередині π чистої геометрії: якщо опустити голку довжиною L на підлогу, що розділена паралельними лініями на відстані d (де L ≤ d), то яка ймовірність того, що вона перетне лінію? Баффон відповів на своє питання у 1777 році, і вражаюча відповідь полягає в тому, що ймовірність перетину залежить від самого π — тобто можна провести експеримент тисячі разів, підраховувати перетини та виводити оцінку π лише з підрахунків і геометрії, за півстоліття до того, як хтось запровадив термін метод Монте-Карло.

Звідки береться формула

Голка, що впала, повністю описується двома незалежними випадковими змінними: відстанню y від її центру до найближчої лінії (рівномірно розподіленою на [0, d/2]) та кутом θ, під яким вона утворена відносно ліній (також рівномірно розподіленим на [0, π/2] через симетрію). Голка перетинає найближчу лінію тоді, коли вертикальна висота її півдовжини, (L/2)·sinθ, перевищує y. Інтегрування цієї умови ймовірності по обом рівномірним змінним дає вражаюче чисте замкнене вираження:

P(перетин) = 2L / (π * d) (для L ≤ d) Переставлено, після N спроб з C перетинами: π ≈ 2LN / (dC) У спеціальному випадку L = d, формула стискається до чистого P = 2/π ≈ 0.6366, тобто приблизно дві з кожної трьох впалих голок перетинають лінію. Зверніть увагу, що ймовірність перетину сама по собі не включає π таким чином, щоб її можна було обернути без особливої уваги – це саме тому, що π знаходиться в знаменнику відношення двох безпосередньо вимірюваних величин (кількість перетинів проти кількості спроб), що робить експеримент можливим як оцінювач.

P(crossing) = 2L / (π * d)          (for L ≤ d)

Rearranged, after N drops with C crossings:
π ≈ 2LN / (dC)

Однакова повільна збіжність як і у методі з дротиком

Голкова експеримента (Buffon’s Needle) є ще одним оцінювачем на основі Бернуллівського процесу, тому успадковує ту саму збіжність 1/√n, що і у методі Монте-Карло для оцінки π: кожне падіння голки є незалежним, результат (перетин чи відсутність перетину) має фіксоване дисперсійне значення, а стандартна похибка отриманої оцінки π зменшується пропорційно квадратному кореню з кількості падінь. Історично це робило його неефективним практичним способом обчислення π – ентузіасти 19-го століття, які фізично кидали тисячі голок вручну, включно з відомим (ймовірно, анекдотичним або принаймні підозріло точним) експериментом 1901 року Маріо Лаццаміні, отримали лише кілька правильних цифр після величезних зусиль. Як демонстрація геометричної ймовірності, ж ніщо не може зрівнятися з ним: воно демонструє, як π виникає з експерименту, який передбачає лише прямі лінії та пряму голку, без жодних кіл.

Буффон-Лаплас: що відбувається з сіткою замість паралельних ліній

П’єр-Сімон Лаплас у 1812 році узагальнив задачу, використовуючи повну прямокутну сітку (два перпендикулярні набори паралельних ліній з відстанями a і b) замість лише однієї напрямної лінії паралельних ліній. Голка тепер може перетнути горизонтальну лінію, вертикальну лінію, обидві або жодну з них, і ймовірність перетину стає більш складною виразкою в L, a та b, яка все ще розв’язується у формулу, що містить π. Задача Буффона-Лапласа є природним мостом між експериментом із голкою в одному напрямку та пізнішими геометричними результатами ймовірності — той самий спосіб мислення, розширений до двох незалежних сімей ліній, який знову проявляється в стереології (оцінка 3D структури на основі 2D перерізів) і в методах Монте-Карло для просторової статистики.

Що робить задачу з голкою "геометричною ймовірністю"

Голкова задача Буффона є першим прикладом геометричної ймовірності — задач, де простор вибірки – це безперервні пози та орієнтації, а не дискретні результати, і ймовірності обчислюються як відношення між площами (або довжинами, або, більш загалом, інтегралами по простору конфігурацій) замість підрахунку однаково ймовірних випадків. Це формулювання пізніше розвинулося в геометрію інтегралів та стереологію – галузі з реальними застосуваннями в матеріалознавстві та медичній візуалізації, де ми виводимо 3D мікроструктуру – розмір зерна у металу або щільність судин у тканині – на основі статистики того, як провід (лінія, голка, площина перерізу) перетинає її.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Buffon's Needle і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.