Групи симетрії паперової обгорки: 17 способів повторювати візерунок назавжди

17 способів укласти площину, жодного більше, жодного менше

Паперова група класифікує повторюваний 2D-шар за допомогою симетричних операцій, які відображають його на себе: переклад (зсув), обертання, дзеркальне відбиття (дзеркала) та злітаючі відбиття (відбиття, поєднане зі зміщенням вздовж дзеркальної лінії). У 1891 році російський кристалог Євграф Федоров довів, що серед безлічної кількості можливих повторюваних шаблонів кожен з них належить точно одній із 17 різних симетричних груп — не 16 і не 18. У цій симуляції відображено дев'ять із них шляхом укладання одного навмисно асиметричного мотиву з конкретними симетричними операціями, які дозволяє кожній групі, щоб регулярність візерунка виникала повністю завдяки симетрії, а не через будь-яку приховану симетрію в самому мотиву.

Чому використання несиметричного мотиву має значення

Якщо повторювана одиниця вже має дзеркальну симетрію, то з її побудови може виглядати так, ніби існує більше операцій симетрії, ніж гарантує основна група. Використання мотиву без власної симетрії — нерегулярної форми, схожої на крапку або прапорець — традиційно використовується в підручниках з кристалічної мінералогії, щоб зробити кожну видиму симетрію у кінцевому малюнку приписувати лише операціям шпалерного групи. Саме тому кожна з дев'яти груп виглядає візуально відмінно, незважаючи на те, що всі вони повторюють один і той же мотив.

Чотири операції та як вони комбінуються

Переклад зсув на фіксовану вектор — кожна група шпалер має 2 незалежні. обертання поворот на 360°/n навколо фіксної точки (n = 2, 3, 4 або 6 лише — див. нижче) віддзеркалення зсувне віддзеркалення Кожна група шпалер потребує двох незалежних перекладів для заповнення площини (це те, що робить її групою шпалер замість візерунка з межами/фрізом, який повторюється лише в одному напрямку). Група p1 має лише переклади — без обертання, без дзеркальних віддзеркалень, найпростіший можливий повтор. Групи, такі як pm та pg, додають одностороннє дзеркальне відображення або односторонній зсув поверх перекладів. Більш щільні групи, такі як p4m або p6m, створюють центри обертання, лінії дзеркального віддзеркалення та осі зсуву одночасно, з суворими геометричними обмеженнями щодо того, де кожен тип елемента симетрії може знаходитися відносно інших.

translation        slide by a fixed vector — every wallpaper group has 2 independent ones
rotation           turn by 360°/n about a fixed point (n = 2, 3, 4 or 6 only — see below)
reflection         mirror across a fixed line
glide reflection   mirror across a line, THEN slide along that same line

Кристаліграфічне обмеження: чому n = 5 заборонено

Сміливе обмеження обмежує обертальну симетрію в будь-якому візерунку з двома незалежними перекладами лише до порядків n = 2, 3, 4 або 6 — 5-кратна та будь-яка симетрія n ≥ 7 неможлива математично у візерунку на стінах (на відміну від окремого декоративного розети, яка може мати будь-яку обертальну симетрію, яку вона хоче). Доказ — це короткий аргумент через протилежність: припустимо, що існує центр n-кратності разом із найкоротшим вектором перекладу, застосуйте обертання до цього вектора з обох кінців і для n = 5 або n ≥ 7 отриманий новий вектор перекладу виявляється коротшим за початковий — це суперечить припущенню, що ви вибрали найкоротший. Це кристаліграфічне обмеження теорема, і тому підлогові плитки, шпалери та кристалічні решітки ніколи не показують справжньої 5-кратної або 7-кратної повторюваності, хоча 5-кратна симетрія є чудовою поширеною в окремих мотивах, таких як морські зірки чи квіти, які не повинні укладатись на стінах.

Понеро розбиття — знаменитий вихід: вони відображають 5-кратну симетрію саме тому, що вони апериорні — вони ніколи не повторюються перекладом взагалі, тому кристаліграфічне обмеження (яке передбачає два незалежні переклади) просто не застосовується до них.

Іменування: що p4m і p6m вам говорять

Стандартні кристалографічні скорочення кодують структуру групи. Початкова літера 'p' (або 'c') позначає примітивну (або центровану) комірку решітки. Число вказує на найвищий порядок обертання, присутній (1, 2, 3, 4 або 6). Завіса 'm' позначає дзеркальні осі, а 'g' – тільки злітаючий відбиття, і друга літера, коли дзеркала розташовані у двох різних напрямках. Отже, p4m означає примітивну комірку з 4-кратною поворотною центровою та дзеркальними площинами — симетрія простого перехрестя або квадратної сітки квадратів, тоді як p6m додає 6-кратне обертання та дзеркала, симетрію шестигранної соти, найщільнішу і найбільш обмежену з усіх 17 груп.

Визначення застосування 17 груп

Це не просто декоративне класифікування. Кристалографія використовує 3D аналог (230 просторових груп) для каталогізації того, як атоми повторюються в реальних кристалічних решетках, що є основою для аналізу рентгенівського випромінювання та науки про матеріали. Ісламське геометрічне мистецтво, яке існувало за століття до доведення Федорова, емпірично досліджувало шаблони, реалізуючи більшість або всі 17 груп, ще до того, як хтось мав формальне класифікування. І та ж теорія групової обчислювальної машини лежить в основі сучасного синтезу текстур і процедурної генерації візерунків у комп'югграфіці, де вибір групи шпалер на початку гарантує безперешкодне повторення результатів.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Wallpaper Symmetry Groups і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.