Формула Ейлера: Число, Що Витримує Кожен Поліедр

Число, що ніколи не змінюється

Візьміть будь-який опуклий поліедр – куб, тетраедр, або обрізаної десятидзеркальної багатогранник, схожий на м’яч для гри в футбол – і порахуйте їх вершини V, ребра E та грані F. Обчисліть V − E + F. Леонард Ейлер помітив у 1750 році (з попереднім згадуванням у неопублілованих записах Декарта) що відповідь завжди дорівнює 2 для будь-якого опуклого поліедра, незалежно від того, наскільки нерегулярні його грані або скільки їх є. Куб дає 8 − 12 + 6 = 2. Тетраедр дає 4 − 6 + 4 = 2. М’яч для гри в футбол дає 60 − 90 + 32 = 2. Це не випадковість малих чисел; це топологічна інваріантна величина, і це перший та найвідоміший приклад цілої галузі – алгебраїчної топології, яка вивчає, які числа залишаються незмінними незалежно від того, як ви деформуєте форму.

Чому це працює: докази планарного графа

Найчистіший доказ не торкається жодного разу трьох вимірів. Проткніть одну грань поліедра та розкладіть решту на площину, як сітку (це завжди можливо для опуклої твердого тіла) — ви отримаєте зв’язаний планарний граф із однаковим V і E, а також областями F − 1 плюс одна незмінна зовнішня область, що представляє собою проткнену грань. Тепер видаліть ребра по одному, кожен з яких або зливає дві грані (F зменшується на 1, E зменшується на 1, V−E+F залишається незмінним), або, якщо ребро є кінцем («міст»), видаляє вершину (V зменшується на 1, E зменшується на 1, V−E+F залишається незмінним). Продовжуйте видаляти до тих пір, поки не залишиться лише одна вершина: V=1, E=0, F=1, отже V−E+F = 2. Оскільки кожен крок видалення зберігав кількість, вона повинна була дорівнювати 2 на самому початку також.

Платонічні тіла виходять з однієї формули

Формула Ейлера також є найшвидшим способом довести, що існує рівно п’ять платонічних тіл — опуклі багатогранники, у яких кожна грань є регулярним p-кутником, а кожна вершина з’єднується з q гранями. Кожна грань має p ребер, які ділять 2 граней (E = pF/2), і кожна вершина торкається q ребер, які ділять 2 вершини (E = qV/2). Підставляючи V = 2E/q та F = 2E/p у рівняння V − E + F = 2 отримуємо:

2E/q - E + 2E/p = 2 => 1/p + 1/q = 1/2 + 1/E > 1/2 лише п’ять цілих пар (p,q) з p,q >= 3 задовольняють це рівняння: (3,3) тетраедр (4,3) куб (3,4) октаедр (5,3) додекаедр (3,5) ікосаедр Будь-яка інша комбінація — гіпотетичне тіло з регулярних шестигранників, що зустрічаються три в одній вершині, наприклад — робить 1/p + 1/q рівним точно 1/2, що змушує E бути нескінченним: це не тверде тіло, а плоска шестигранна укладка плоскості. Перейдіть далі і сума падає нижче 1/2, що є саме там, де живуть гіперболічні укладання замість цього.

2E/q  -  E  +  2E/p  =  2
=>   1/p + 1/q  =  1/2 + 1/E   >  1/2

only five integer pairs (p,q) with p,q >= 3 satisfy this:
(3,3) tetrahedron   (4,3) cube        (3,4) octahedron
(5,3) dodecahedron  (3,5) icosahedron

Що змінюється на пончі: родів та χ = 2 − 2g

Формула 2 є специфічною для форм, які топологічно еквівалентні сфері — будь-чого, що ви можете надути у кулю без розрізання або склеювання. Торус (понч, чашка кави, будь-що з одним отвором) завжди дає V − E + F = 0, а не 2, незалежно від того, як він трикутно представлений. Двоотвертий торус дає −2. Загалом, для замкнутої орієнтованої поверхні роду g (кількість отворів), Ейлерів характеристик χ = V − E + F = 2 − 2g. Ця одна формула пояснює, чому чашку кави та понч вважають «однаковою формою» в топології — обидва мають рід 1, отже χ = 0 — тоді як сфера (рід 0) та косуля (рід 3, χ = −4) доведено, що вони є постійно різними, незалежно від того, як ви їх розтягуєте або стискаєте, за умови, що ви ніколи не рвете поверхню або не склеюєте нових частин її разом.

Зіркові поліедри ламають правило — навмисне

Самопересічні тверді тіла, такі як зіркові поліедри Кеплера-Поінсота, не задовольняють V − E + F = 2, і це не помилка, а саме суть їх вивчення: їхні грані або вершинні фігури обертаються навколо центру більше одного разу, тому простий аргумент на основі планарної графу (який спирається на те, що поліедр можна вбудувати у площину без перетинів) більше не застосовується. Обчислення правильної загалізованої формули Ейлера для цих твердих тіл вимагає відстеження щільності обертання, про яку стаття про зіркові поліедри на цьому сайті піднімає безпосередньо.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Euler's Formula і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.