Поліди: Один конус, чотири криві, одна формула

Один конус, одна площина, чотири криві

Розріжте подвійний конус — два наппи, з'єднані верхівкою до верхівки — плоскою площиною, і переріз завжди буде однією з чотирьох форм: коло, коли площина перпендикулярна осі; еліпс, коли вона нахилена, але все ще проходить лише через один нап; парабола, коли вона нахиляється до того, щоб стати точно паралельною лінії на поверхні конуса; і гіперболу, коли вона нахиляється ще далі та розрізає обидва наппи одночасно. Грецький геометр Аполлоній з Перги вивчив цю всю таксономію близько 200 до н.е., виключно на основі твердої геометрії конуса, за майже eighteen століття до того, як Кеплер відкрив, що ці самі чотири криві описують усі можливі орбіти під дією сили, оберненої квадрату.

Ексцентриситет: одна величина, чотири криві

Сучасний, більш алгебраїчний спосіб об’єднати чотири криві – це ексцентриситет, *e* — відношення відстані точки від фіксованої фокусної точки до її відстані від фіксованої прямої (діаметра). *e* = 0 відповідає колу, 0 < *e* < 1 – еліпсу, *e* = 1 – параболі, а *e* > 1 – гіперболі. В термінах нарізаного конуса, якщо α - власний кут конуса, а θ - нахил перерізної площини відносно осі, то:

e = sin(θ) / sin(α) θ = 90° (площина перпендикулярна до осі) -> e = 1/sin(α) ... чекайте, перпендикулярна площина: θ=α -> e=1 -> коло при θ=α? (звичайна практика варіюється; правило, що використовується в симуляції, таке: e = cos(θ)/cos(α), кут θ вимірюється від основи) θ < α -> еліпс (0 <= e < 1) θ == α -> парабола (e == 1) θ > α -> гіпербола (e > 1) Кожна з цих конфок, також має чисте полярне рівняння, центроване навколо фокусної точки, r = ℓ / (1 + e·cos φ), де ℓ – півлатів ректикс. Це єдина формула, яку використовували Ньютон і Кеплер для обчислення орбіт — вставте *e* для будь-якої траєкторії планети, комета чи космічного корабля, і та ж формула дасть еліпс зв’язаної планети, параболу об'єкта, що досягає точно швидкості виходу, або гіперболу міжзоряного об'єкту, такого як ʻOumuamua, який проходить один раз і не повертається.

e = sin(theta) / sin(alpha)

theta = 90 deg (plane perpendicular to axis)      -> e = 1/sin(alpha) ... wait, perpendicular plane: theta=alpha  -> e=1 -> circle at theta=alpha?
(convention varies; the working rule used in the simulation is e = cos(theta)/cos(alpha), theta measured from the base)
theta < alpha   -> ellipse   (0 <= e < 1)
theta == alpha   -> parabola  (e == 1)
theta > alpha   -> hyperbola (e > 1)

Чому еліпс має дві фокуси та натягнуту нитку

Класична конструкція з гвинтівки та нитки — обмотати ниткою навколо двох гвинтів і провести лінію, щоб вона залишалася натягнутою — працює тому, що еліпс визначається як множина точок, де сума відстаней до двох фіксованих фокусів є постійною. Сфери Данделіна, відкриті в 1822 році, дають прекрасний доказ того, чому це відповідає визначенню нарізання конуса: вписати сферу в кожну шару конуса, торкаючись площини розрізу в одній точці кожної; ці дві точки дотику виявляються точно двома фокусами еліпса, а прості аргументи з використанням торцевих ліній показують, що сума відстаней до них є постійною вздовж усього контуру.

Гіпербола – це та сама ідея з мінусом

Гіпербола замінює суму на різницю: множина точок, де різниця відстаней до двох фокусів є сталою. У неї дві окремі гілки, оскільки ця різниця може бути як позитивною, так і негативною, а її дві асимптоти – це лінії, які підходять до кривої, але ніколи не торкаються їх, коли вона прямує до нескінченності – для стандартної форми x²/a² − y²/b² = 1 асимптоти просто y = ±(b/a)x. Парабола знаходиться на межі між двома: визначена рівною відстанню до одного фокусу та однієї прямої безліччя, це єдина крива з лише одним фокусом, що також пояснює, чому вона єдиною не закривається або не має двох гілок, а представляє собою окремий відкритий дуг, який досягає нескінченності в одному постійному напрямку.

Де з'являються ці чотири криві у реальному житті

Еліпси – це будь-яка замкнена орбіта під дією гравітації, форма вежі Гавеля та поперечний переріз циліндра, проведений по діагоналі. Параболи – це траєкторія будь-чого, кинутого в рівномірно прискореному гравітаційному полі без опору повітрям, а також форма, що використовується в антенах супутникових приставок та лінзах фар головних свічок автомобілів: парабола фокусує всі паралельні їй вздовж осі промені в одну точку (або навпаки, випромінює ідеально сфокусований промінь з джерела в цій точці). Гіперболи описують нестійкі орбіти – будь-яке тіло, що рухається швидше за швидкість уникнення гравітаційного поля, та також є формою, яку використовують системи LORAN і сучасні багатосторонні системи навігації, оскільки локус точок з постійною різницею часу між двома фіксованими радіопередавачами визначається гіперболою.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Conic Sections і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.