Wzór Eulera: Liczbę, Która Przetrwa Każdy Wielokąt

Liczba, która nigdy się nie zmienia

Weź dowolną wielościan wypukły – kostkę, tetraedr, wielokąt foremny pozbawiony trójkąta – i policz jego wierzchołki V, krawędzie E i ściany F. Oblicz V − E + F. Leonhard Euler zauważył w 1750 roku (z wcześniejszym śladem w unpublished notes Descartes) że odpowiedź zawsze wynosi 2 dla każdego wielościanu wypukłego, niezależnie od tego, jak nieregularne są jego ściany lub ile ich jest. Kostka daje 8 − 12 + 6 = 2. Tetraedr daje 4 − 6 + 4 = 2. Wielokąt foremny daje 60 − 90 + 32 = 2. To nie jest przypadek małych liczb; to jest inwariant topologiczny, i jest to pierwszy i najbardziej znany przykład całego działu – topologii algebraicznej – który bada, które liczby pozostają niezmienne bez względu na to, jak deformujesz kształt.

Dlaczego to działa: dowód graficzny

Najczystszy dowód nie dotyka trójwymiarowości wcale. Przebić jedną ścianę wielokąta i rozłożyć resztę na płaszczyźnie, jak siatkę (zawsze jest to możliwe dla ciała wypukłego) – otrzymujemy połączony graf płaski z tym samym V i E oraz F − 1 obszarami ograniczonymi plus jeden obszar zewnętrzny nieograniczony reprezentujący przebitą ścianę. Następnie usuwaj krawędzie pojedynczo, a każda usunięcie albo łączy dwie ściany (F spada o 1, E spada o 1, V−E+F pozostaje niezmienione), albo, jeśli krawędź jest końcem (tzw. 'most'), usuwa wierzchołek (V spada o 1, E spada o 1, V−E+F pozostaje niezmienione). Kontynuuj usuwanie, aż zostanie pojedynczy wierzchołek: V=1, E=0, F=1, więc V−E+F = 2. Skoro każdy krok usunięcia zachował tę wartość, musiała ona być równa 2 od samego początku.

Platoniczne bryły wykazują tę samą zależność

Wzór Eulera jest również najszybszym sposobem udowodnienia, że istnieje dokładnie pięć brył Platonowych – wypukłych wielobocznych, w których każda ściana jest regularnym wielokatem i każdy wierzchołek łączy się z tą samą liczbą kratek ścian (q). Każda ściana ma p brzegów współdzielonych przez 2 ściany (E = pF/2), a każdy wierzchołek dotyka q brzegów współdzielonych przez 2 wierzchołki (E = qV/2). Podstawiając V = 2E/q i F = 2E/p do równania V − E + F = 2 otrzymujemy:

2E/q - E + 2E/p = 2 => 1/p + 1/q = 1/2 + 1/E > 1/2 tylko pięć par liczb całkowitych (p,q) z p,q >= 3 spełnia to kryterium: (3,3) tetraedr (4,3) sześcian (3,4) ośmiościan (5,3) dwudziestościan (3,5) dwunastościan Jakakolwiek inna kombinacja – hipotetyczna bryła składająca się z regularnych heksatomów spotykających się w jednym wierzchołku, na przykład – powoduje, że 1/p + 1/q jest równe dokładnie 1/2, co wymusza nieskończoną wartość E: nie jest to ciało stałe, a płaskie ułożenie heksatomów na płaszczyźnie. Przekraczając tę granicę, suma spada poniżej 1/2, co odpowiada obszarowi hyperbolicznych ułożeń.

2E/q  -  E  +  2E/p  =  2
=>   1/p + 1/q  =  1/2 + 1/E   >  1/2

only five integer pairs (p,q) with p,q >= 3 satisfy this:
(3,3) tetrahedron   (4,3) cube        (3,4) octahedron
(5,3) dodecahedron  (3,5) icosahedron

Co się zmienia na donu: genus i χ = 2 − 2g

Wzór 2 jest specyficzny dla kształtów topologicznie równoważnych z kulą – czyli takich, które można napompować do kuli bez cięcia lub klejenia. Torus (donuś, kubek filiżankowy, cokolwiek z dokładnie jednym otworem) zawsze daje V − E + F = 0, a nie 2, niezależnie od tego, jak jest trójkątowany. Dwukomorowy torus daje -2. Ogólnie rzecz biorąc, dla zamkniętej, urozmaiconej powierzchni o genusie g (liczbie otworów), charakterystyka Eulera χ = V − E + F = 2 − 2g. Ten pojedynczy wzór wyjaśnia, dlaczego kubek i donuś są uważane za 'ten sam kształt' w topologii – oba mają genus 1, więc χ = 0 – podczas gdy kula (genus 0) i skrzyżowany przypłaszcz (genus 3, χ = −4) są dowodowo i na stałe różne, niezależnie od tego, jak je rozciągasz lub ściskasz, o ile nigdy nie rozerwie powierzchnię ani nie sklejasz nowych jej części razem.

Gwiazdy wielościanów łamią zasadę – celowo

Samowzajemnie przecinające się bryły, takie jak wielościany Kepler-Poinsota, nie spełniają wzoru V − E + F = 2, a to nie jest błąd, lecz właśnie ten punkt wyjścia do ich badania: ich ściany lub figury wierzchołkowe wiążą się wokół środka więcej niż raz, co sprawia, że prosty argument graficzny płaskiego wielościanu (który opiera się na tym, że wielościan można umieścić w płaszczyźnie bez przecięć) przestaje obowiązywać. Obliczenie poprawnego ogólnego związku Eulera dla tych brył wymaga śledzenia gęstości wiązania, co jest tematem, który wielościany Kepler-Poinsota poruszają bezpośrednio na tej stronie.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Euler's Formula i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.