Рівноставлення проти Простого Тона: Кома, з якої не вислизнути

Масштаб – це компроміс, і хтось повинен обирати, які тріщини виглядають найбільш помітно.

Музичні інтервали звучать найконсодатніше, коли відношення частот у них є малими цілими числами: октава точно 2:1, велика терція точно 5:4, чиста п’ята точно 3:2. Система налаштування, побудована виключно з цих чистих пропорцій, називається просто інтимацією, і вона виробляє інтервали, які справді не мають математичних відхилень. Але є одна пастка – просто інтимація працює лише в одному тональності, чисті пропорції не залишаються чистими при транспонуванні, оскільки їх накладання не повертається до чистої октави.

Наберіть дванадцять чистих чистих п’ятих (відношення 3/2) і, в принципі, ви повинні повернутися до початкової ноти сім октав вище. Ви цього не робите. Дванадцять п’ятих з 3/2 кожен множаться на приблизно 129,75, тоді як сім октав становить точно 2^7 = 128. Розбіжність, близько 1,0136, є піфагорівською компромісною, і це не помилка округлення – це справді математичний факт, що група, згенерована чистими п’ятими та чистими октавами, не закривається.

Рівномірне темпераментування: рівномірно розподіліть паузи

Дванадцятитонове рівномірне темпераментування (12-ТЕТ) розв’язує питання з паузами, відмовляючись утримувати будь-який інтервал абсолютно чистим, крім октави. Воно ділить октаву на дванадцять точно рівних кроків за логарифмічної шкали частот, тому кожен півтон має однакову пропорцію:

відношення півтону = 2^(1/12) ≈ 1.059463 n півтони відносно базової частоти f0: f = f0 * 2^(n/12) чиста п’ята (7 півтонів): 2^(7/12) ≈ 1,49831 (точно 3/2 = 1.5) мажорна третя (4 півтони): 2^(4/12) ≈ 1,25992 (точно 5/4 = 1.25) Кожен 12-ТЕТ п’ятий відхиляється від чистого лише приблизно на 2 центи (2/100 півтону) – достатньо мало, щоб більшість слухачів не усвідомлювали повільного биття, хоча чутливе вухо та тривалі тони можуть. Мажорна третя страждає значно гірше: вона наближено на 14 центи гостра від чистого 5/4, різниця, яку легко почути як чітке, швидке биття, що саме пояснює, чому барбершовикі квартети та хори, які можуть вільно налаштовувати будь-який акорд замість того, щоб бути заблокованими під клавіатурою, звичним чином співають треті та п’яти значно ближче до чистих пропорцій ‘just intonation’, ніж будь-яка піаніно.

semitone ratio  =  2^(1/12)  ~  1.059463
n semitones above a base frequency f0:   f = f0 * 2^(n/12)
perfect fifth (7 semitones):   2^(7/12) ~ 1.49831   (pure 3/2 = 1.5 exactly)
major third (4 semitones):     2^(4/12) ~ 1.25992   (pure 5/4 = 1.25 exactly)

Чому рівноство температур виграло

Весь виграш від рівномірного розподілу інтервалів на всі 12 інтервалів – це транспонованість: будь-яка тональність звучить однаково (не)чисто, тому музичний твір може вільно модулювати через будь-яку тональність, інструмент можна побудувати з фіксованими висотами (88 клавіш фортепіано, гриф гітари), а два фіксовані піаністи, налаштовані відповідно до одного стандарту, повністю узгоджуються один з одним. Рівноство температур, з іншого боку, змушує робити жорсткий вибір: воно забезпечує ідеальний консонант у тональності, для якої воно було встановлено, і чудово невідповідні інтервали майже в будь-якій іншій тональності, оскільки чисті пропорції, які роблять одну тональність безперебійною, точно ті ж пропорції, що роблять іншу тональність погано розстроєною.

Історично клавішне налаштування проходило через кілька компромісних систем до того, як було встановлено рівноство температур – середнє темпераменту звузили п’яті, щоб розширити трезвучання до чистоти, добре темперамент (асоційований з Well-Tempered Clavier Баха) робив кожну тональність звучати дещо інакше за характер, зберігаючи всі тональності грабельні, і лише в 19 та 20 століттях суворе 12-TET стало майже універсальним стандартом для фортепіано, гітар та інших фіксованих інструментів.

Що насправді звучать ці удари

Коли два тони близькі, але не абсолютно співвідносяться у простому відношенні, їхні хвилі тиску зсуваються в фазі та повертаються назад із частотою, рівною різниці між тим, наскільки кожен октав відхиляється від цього відношення, створюючи чутний повільний пульс інтенсивності – той самий феномен «бий-тягни» (beating), який розглядався в інших розділах цього сайту, але застосований до невеликого розстрою, який свідомо вводиться рівноставовою темпераментом, а не до двох випадкових близьких частот. Чистий інтервал 3/2 б’ється на 0 Гц за визначенням (або миттєво збігається без пульсу); розстрочений інтервал б’ється повільно, оскільки він не є точно 3/2. Демонстрація дозволяє перемикати між інтервалом чистого гармонічного співвідношення або між його еквівалентом у 12-TET і чути цей пульс.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Equal Temperament і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.