Зростання дендритів: Фізика за самісінькою симетрією сніжинок

Плоска фронтальна поверхня є нестабільною

Уявіть собі ідеально плоску твердо-рідку фазу, яка просувається в охолоджену або надзвичайно насичену рідину. Теоретично вона може залишатися плоскою назавжди. На практиці це майже ніколи не відбувається, оскільки будь-яка невелика випадкова висолина, що трохи виступає попереду фронту, опиняється в рідині, яка ще більше охолоджена, ніж рідина безпосередньо біля плоскої фази – охолодження, яке збільшується з відстанню попереду фронту, коли розсіяне латентне тепло або розчинений солі. Це додаткове охолодження стимулює висолину рости швидше, ніж плоска поверхня навколо неї, тому висолина стає більшою, віддаляючись ще далі і росте ще швидше. Якщо цього не зупинити, цей позитивний зворотний зв’язок перетворює плоску фронтальну поверхню на хвилясту практично миттєво.

Що запобігає фронту перетворитися на хаос на будь-якому масштабі, це поверхневий натяг. Дуже гостра, щільно вигнута висолина має значно більшу енергію поверхні на одиницю об'єму порівняно з широкою, м’якою висолиною, тому поверхневий натяг активно придушує короткохвильові висолини, навіть коли дифузійне поле сприяє довгохвильовим. Збалансування цих двох суперечливих ефектів – Вільям Мільлс і Роберт Секера в 1963 році вивели цей баланс явно – визначає єдину найшвидше зростаючу довжину хвилі, і саме висолини поблизу цієї довжини хвилі виживають і ростуть у первинні гілки дендриту.

Нестабільність Mullins-Sekerka, начерпкова

Формальний аналіз збуджує плоску поверхню невеликим синусоїдальним хвилею довжininного хвилі k і ставить питання, чи зростатиме або спадатиме амплітуда цієї хвилі з часом. Дифузійне поле попереду поверхні дестабілізуючим і його внесок у швидкість росту масштабується приблизно з k; поверхневе натягнення стабілізує та його внесок масштабується з k^3, оскільки кривина (і вартість енергії кривини) зростає швидше за амплітуду для коротких довжин хвиль. Обидва ефекти взаємодіють при критичній довжині хвилі, і всюди нижче цієї критичної довжини збурення розсіюються, а всюди вище – вони посилюються — з одним конкретним довжиною хвилі росте найшвидше:

Швидкість росту хвилі довжини хвилі k приблизно: ω(k) ~ k * G_diffusion - k^3 * γ * (жорсткість кривини) ω(k) > 0 → хвиля посилюється (нестабільна) ω(k) < 0 → хвиля розсіюється (стабільна, поверхневе натягнення перемагає) один критичний довжина хвилі k_max максимізує ω(k) → встановлює характерний інтервал між первинними гілками дендриту Як тільки первинна гілка виростає в рідину, та сама нестабільність повторюється на її сторонах у меншому масштабі, створюючи вторинні бічні гілки, а потім тертій гілки від них — самоподібна каскад, що створює характерну деревоподібну (дендритичну, з грецького «дерево») форму, яку можна побачити у всьому, від крижаного покриву на вікні до відливань, що затверджуються всередині форми.

growth rate of a ripple of wavenumber k, roughly:

  omega(k)  ~   k * G_diffusion   -   k^3 * gamma * (curvature stiffness)

  omega(k) > 0   ->   ripple amplifies (unstable)
  omega(k) < 0   ->   ripple decays    (stable, surface tension wins)

  a single wavenumber k_max maximises omega(k)
  ->   sets the characteristic spacing between primary dendrite arms

Анізотропія: чому гілки виростають у певному напрямку

Лінійний аналіз стабільності сам по собі не пояснює, чому справжні дендрити розгалужуються певними, повторюваними напрямками. Це зумовлено анізотропією кристала: поверхнева енергія та кінетика меж не однакові у всіх напрямках відносно кристалічної решітки, і навіть невелика спрямованість надає переваги росту в певних напрямках, пригнічуючи все інше. Для льоду, молекули якого упаковуються в гексагональну решітку, переважні напрямки зростання визначаються кожну шість градусів, що і пояснює, чому будь-яка крихта – незалежно від того, наскільки її детальний малюнок розгалужень відрізняється від інших (оскільки цей деталізований характер визначається точним, хаотичним шляхом зміни вологості та температури під час падіння), має одну й ту саму основну шестирозмірну симетрію.

Зростання дендритів – Сніжинки та Затвердження

Точна така ж нестабільність керує затвердінням металів, де її зазвичай викликає конституціональне охолодження замість теплового: коли сплав затверджується, тверда фаза зазвичай відкидає один елемент-домішування в залишок рідкого, утворюючи розрядна шару безпосередньо перед фронтом, чиї місцеві точки кристалізації нижче за фактичну температуру. Метали кристалізуються в кубічних решітках замість шестигранних, тому металеві дендрити розгалужуються чотири- або шістьразовими схемами, що визначається кубічною симетрією, а не шестигранною симетрією льоду, але основний механізм Мулліна-Секерки однаковий. Контроль цієї дендричної структури — її відстань між гілками, її орієнтація, чи утворюється вона взагалі — є центральним для ливарного виробництва сплавів, зварювання та аддитивного виробництва, оскільки відстань між гілками дендритів безпосередньо контролює наскільки далеко розчиненому елементу потрібно дифундувати під час подальшого термічного оброблення, і відповідно кінцеві механічні властивості деталі.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Dendrite Growth і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.