Rozprzestrzenianie się Pęknięć: Równowaga Energii Griffitha i Czynnik Naprężeń Intensywności

Dlaczego pęknięcie jest bardziej niebezpieczne niż otwór

Wywiercenie niewielkiego, okrągłego otworu w obciążonym elemencie powoduje, że naprężenie tuż przy jego brzegu wynosi trzy razy naprężenie oddalone, zgodnie z dobrze znanym wynikiem z rozwiązania elastyczności Inglista z 1913 roku. Ten współczynnik trzech jest niepokojący, ale możliwy do zaakceptowania. Zastąpienie otworu ostrej szczeliną o tej samej długości całkowicie zmienia charakter równań: dla idealnie ostrej krawędzi szczeliny, linearna elastyczność przewiduje nieskończone naprężenie, ponieważ krawędź ma efektywnie zerowy promień krzywizny. Rzeczywisty materiał nie jest w stanie wytrzymać nieskończonego naprężenia, więc coś innego musi kontrolować, czy szczelina będzie się rozrastała – a tym 'coś' to energia, a nie naprężenie w punkcie.

Równowaga energii Griffitha

W 1921 roku wkład A.A. Griffitha polegał na tym, że zamiast pytać, czy naprężenie na czubku pęknięcia przekracza próg, zadał pytanie o globalną energię: czy układ obniża swoją całkowitą energię poprzez niewielkie wydłużenie pęknięcia? Wydłużenie pęknięcia o *da* powoduje dwie rzeczy. Rozwiązuje ono zgromadzone naprężenia sprężyste w materiale wokół pęknięcia (energia jest uwalniana, ponieważ nowo utworzone powierzchnie nie mogą przenosić obciążenia) – nazywamy ilość uwalnianej energii na jednostkę powierzchni współczynnik wydzielania energii *G*. Tworzy również dwie nowe powierzchnie swobodne, co kosztuje energię 2*γs* na jednostkę powierzchni, gdzie *γs* to energia powierzchni materiału. Kryterium Griffitha mówi, że pęknięcie rośnie dokładnie wtedy, gdy uwalniana energia równa się lub przekracza zużyta energia:

G ≥ 2γs Kryterium Griffitha (w postaci energii) pod kątem pęknięcia przezroczystego o długości 2*a* w nieskończonym bloku pod działaniem odległego naprężenia *σ* (warunek naprężenia płaszowego): G = π σ² a / E więc krytyczne naprężenie, w którym pęknięcie staje się niestabilne wynosi: σc = sqrt( 2 E γs / (π a) ) Ta formuła już mówi najważny jakościowy fakt o kruchości złamania: krytyczne naprężenie spada jak 1/√a. Podwojenie długości pęknięcia nie podwaja zagrożenia, mnoży je przez √2, ale – co najważniejsze – oznacza to również, że nie ma bezpiecznego naprężenia, w którym arbitralnie długie pęknięcie ostatecznie nie będzie się rozszerzać. Własne eksperymenty Griffitha z włóknami szklanymi w latach 20. XX wieku, gdzie wadliwość jest zasadniczo nieunikniona, po raz pierwszy wykazały, że zmierzone wytrzymałości śladowe odzwierciedlają rozmiar wadliwych, a nie żaden pojedynczy materiał stały.

G ≥ 2γs                  Griffith's criterion (energy form)

for a through-crack of length 2a in an infinite plate under
remote stress σ (plane stress):
   G = π σ² a / E

so the critical stress at which the crack becomes unstable is
   σc = sqrt( 2 E γs / (π a) )

Człon naprężenia: praktyczne narzędzie

Elegancki punkt widzenia Griffitha jest niewygodny w bezpośrednim stosowaniu do rzeczywistych, nieregularnych geometrii. George Irwin zrewidował go w latach 50. XX wieku, przedstawiając w terminach współczynnika naprężenia ścinającego K, który charakteryzuje wytrzymałość na naprężenie singularnego w miejscu ostrości pęknięcia, a nie energii całego ciała. Dla pęknięcia o długości *a* pod oddziaływaniem zewnętrznym σ w trybie I (pęknięcie rozdziela się prosto – dominujący, najbardziej niebezpieczny tryb):

K_I = Y · σ · sqrt(π a) gdzie Y jest bezwymiarowym współczynnikiem geometrycznym (≈1 dla długiego pęknięcia w szerokiej płycie, większy przy brzegu swobodnym) pole naprężenia w pobliżu ostrości, w odległości r i kąt θ od niej: σ_yy(r, θ) ≈ K_I / sqrt(2π r) · f(θ) – singularność 1/√r K_I i G to dwa punkty widzenia tej samej fizyki i są ze sobą bezpośrednio związane, G = K_I²/E′ (gdzie E′ = E w warunkach naprężenia płaszowego, E/(1−ν²) w warunkach naprężenia skupionego), co oznacza, że kryterium energii Griffitha i kryterium współczynnika naprężenia ścinającego Irwina przewidują identyczny wzrost pęknięć. Pęknięcie rozprzestrzenia się, gdy K_I osiągnie twardość pękania materiału K_IC – rzeczywistą właściwość materiału, mierzoną w MPa√m, która pełni tę samą rolę dla ciał z pęknięciami, co wytrzymałość na ściskanie dla nienaruszonych. Szkło ma K_IC około 0,7–0,8 MPa√m; stal konstrukcyjna zwykle wynosi 50–150 MPa√m, co jest głównym powodem, dla którego konstrukcje ze stali tolerują wady, które natychmiast rozłupywałyby szkło.

K_I = Y · σ · sqrt(π a)        Y = a dimensionless geometry factor (≈1 for a
                               long crack in a wide plate, larger near a free edge)

stress field near the tip, at distance r and angle θ from it:
   σ_yy(r, θ) ≈ K_I / sqrt(2π r) · f(θ)      — the 1/√r singularity

Trzy tryby obciążania i dlaczego Tryb I dominuje

Pęknięcia można obciążać na trzy sposoby: Tryb I (rozszerzanie, ścinki ciągnięte prosto w bok), Tryb II (zmiana w płaszczyźnie, ścinki przesuwające się względem siebie w płaszczyźnie pęknięcia) i Tryb III (zmiana poza płaszczyzną, rozwarstwianie). Rzeczywiste pęknięcia są zwykle wielomodowe, ale kruche pęknięcia wykazują silną tendencję do zakrzywiania się w miarę wzrostu, aby lokalnie maksymalizować Tryb I i minimalizować odkształcenia oboczne – pęknięcie pod kątem nachylenia zginającego się kłuje aż do momentu, gdy jest prostopadłe do największego naprężenia głównego, które dokładnie odpowiada chaotycznym, rozgałęziającym się śladom widocznym w rozbitym szkle i meandrowającej przedniej granicy w tym symulacji.

O brzegu za idealową kruchość: odkształcenie plastyczne

Rzeczywiste metale nie są wcale idealnie kruche. Bezpośrednio przy brzgu pęknięcia naprężenie przewidziane przez liniową elastyczność przekracza graniczną sprężystości σy, więc mała obszar faktycznie odkształca się plastycznie zamiast podążać za prawem 1/√r. Szacunek Irwina tego rozmiaru obszaru plastycznego to,

r_p ≈ (1/2π) · (K_I / σy)² (odkształcenie w warunkach napięcia; mniejsze o ok. 3× w odkształceniu w warunkach rozciążenia, gdzie materiał otaczający ogranicza odkształcenie), Długo, jak długo r_p jest mały w porównaniu z długością pęknięcia i wymiarami próbki, nadal obowiązuje liniowa elastyczna mechanika pękania (LEM), gdzie K_IC stanowi twardość — to warunek niewielkiego odkształcenia plastycznego, który spełniają wszystkie testy K_IC. Gdy obszar odkształcenia plastycznego nie jest mały (cienkie arkusze metalu ciągliwego, większość tworzyw sztucznych), brzeg pęknięcia staje się tępy, absorbuje znacznie więcej energii poprzez odkształcenie plastyczne niż czysta energia powierzchni Griffitha założyła, a analiza musi przejść na mechanikę pękania plastycznego-elastycznego — J-integral i przesunięcie otwarcia brzeg pęknięcia — co wyjaśnia, dlaczego twarde metale ciągliwe tak dobrze oporowują wzrostowi pęknięć niż sugerowałby naiwny oszacowanie Griffitha.

r_p ≈ (1/2π) · (K_I / σy)²        (plane stress; smaller by ≈3× in plane strain,
                                     where the surrounding material constrains yielding)

Wytrzymałość na Nastyki: wzrost bez pojedynczego przeciążenia

Pęknięcie może również rosnąć pod wpływem cyklicznych obciążeń, które nigdy niezależnie nie osiągają K_IC, czyli minimalny wzrost mikroskopowy na cykl, w tym procesie inżynierowie nazywają wytrzymałość na nastki. Zastosowanie ma prawa Paris stanowią standardowy model empiryczny:

da/dN = C · (ΔK)^m ΔK = K_max − K_min na cykl, C i m dopasowane do materiału Ponieważ a rośnie z każdym cyklem, a K_I zależy od √a, ΔK sam w sobie również wzrasta wraz z wydłużeniem pęknięcia, co sprawia, że wzrost pęknięcia przyspiesza – początkowo powoli, a następnie coraz szybciej aż do momentu, gdy K_max osiągnie K_IC i pozostały więź rozrywa się nagle w ostatecznym, kruchy wybuch.

da/dN = C · (ΔK)^m            ΔK = K_max − K_min per cycle, C and m fitted per material

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Crack Propagation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.