Компас та пряма лінія: що можуть і не можуть побудувати дві інструменти

Два інструменти: немаркований лінійка та стиснутий циркуль

Будівництво за допомогою лінійки та стиснутого циркуля – це геометрія, зведена до її базових механізмів: лінійка, яка малює паралельну пряму через дві відомі точки, і циркуль, який малює коло, центроване навколо відомої точки, проходячи через іншу відому точку. Немає позначок на лінійці, не використовується транспортир чи будь-які вимірювання – кожна нова точка фігури має виникати як перетин двох прямих, двох кіл або прямої та кола. Евклід побудував перші три книги «Елементів» майже повністю за допомогою лише цих двох рухів, і ця дисципліна використання нічого іншого не є випадковістю: це точна модель того, що можна побудувати з раціональних операцій та квадратних коренів, що саме пояснює, чому деякі конструкції – трикутництво будь-якого кута, квадратура кола, об’ємне подвоєння – доведені неможливими за допомогою цього набору інструментів, незалежно від того, наскільки винахідливо ви намагаєтеся.

Діагональ, що ділить кут навпіл

Будь-яке конструктивне завдання можна звести до кількох основних рухів, які повторюються та комбінуються. Діагональ, що ділить кут ABC навпіл, є найкращим прикладом: проведіть коло із центром у точці A і радіусом AB, а потім проведіть коло із центром у точці B і таким самим радіусом (тобто конгруентне), і ці кола будуть перетинатися в двох точках. Лінія, що проходить через ці дві точки перетину, є точною діагоналлю – вона віддалена від A та B на однакову відстань за конструкцією, оскільки кожна точка на будь-якому з цих кіл знаходиться на фіксованій відстані від свого центру.

1. коло(центр=A, радіус=AB) 2. коло(центр=B, радіус=AB) 3. P, Q = точки перетину першого та другого кіл 4. лінія(P, Q) - діагональ кута ABC, точка дотику лінії до AB - точка перетину лінії і AB

Аналогічно, бісектор кута ABC використовує ту ж саму техніку на одному рівні вище: проведіть дугу із центром у вершині B, яка перетинає обидва промені на однаковій відстані, а потім точно так само, як і раніше, поділіть відрізок, що з’єднує ці дві точки перетину.

1. circle(center=A, radius=AB)
2. circle(center=B, radius=AB)
3. P, Q = intersections of circle 1 and circle 2
4. line(P, Q)          <- perpendicular bisector of AB, midpoint = line ∩ AB

Побудова регулярного шестикутника безкоштовно

Регулярний шестикутник – це побудова, яка захоплює початківців за допомогою компаса, оскільки для її виконання не потрібно багато хитрощів: відкрий циркуль до будь-якого радіусу r, намалюй коло, а потім, не змінюючи радіус, пройди навколо його об’єму, відмічаючи шість дуг. Вони ідеально закриваються на шостому кроці. Причина криється в випадковості, пов'язаній з реальними зубцями – діагональ, рівна радіусу, утворює дугу в 60°, оскільки трикутник, утворений двома радіусами та цією діагоналлю, є рівностороннім (дві сторони – радіуси, третя дорівнює радіусу за конструкцією, отже всі три кути становлять 60°). Шість копій дуги в 60° точно розкладаються на 360° кола, тому ця побудова, серед усіх регулярних багатокутників, не потребує жодних допоміжних точок.

П’ятикутник Річмонда: перше справді складне завдання

Регулярний п'ятикутник – це місце, де використання компаса та лінійки перестає бути просто трюком і перетворюється на алгебру. Його кут вершини потребує обчислення cos 36° = (1+√5)/4, а √5 – це довжина, яку не можна витягти з кола так, як ви витягуєте ходу – її потрібно побудувати як гіпотенузу прямокутного трикутника з катетами 1 і 2, використовуючи теорему Піфагора. Побудова Герберта Річмонда 1893 року робить саме це: вона ділить радіус, використовує цю поділену точку як центр допоміжного кола радіуса, що дорівнює відстані до точки, вже наявній на основному колі (яка становить √5/2 за теоремою Піфагора), і ця прихована квадратна корінь робить cos 36° побудовим, а cos(360°/7) – для регулярного семикутника – неможливою.

constructible with compass & straightedge  <=>  the required lengths lie in a tower of
field extensions each of degree 2 over the rationals (started at 1, closed under +,-,*,/,sqrt)

regular n-gon constructible  <=>  n = 2^k * p1 * p2 * ... (distinct Fermat primes 3,5,17,257,65537)
=> 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 ... YES     7, 9, 11, 13, 14, 18 ... NO

Чому деякі речі неможливо побудувати

Кожна точка, яку можна отримати за допомогою лінійки та циркуля, починаючи з двох заданих точок, має координати, які живуть у вежі полів, кожне з яких отримано від попереднього шляхом додавання одного квадратного кореня — це теорема, а не міф, доведена суворо ще після того, як Декарт перетворив геометрію на алгебру, а Ванцель формалізував аргумент теорії полів у 1837 році. Трисекція кута потребує дійсного кореня справді кубічного рівняння, cos(θ/3) в термінах cos θ, і загального кубічного рівняння корінь не живе в жодній вежі розширення квадратними коренями — йому потрібен кубічний корінь, який будь-яка послідовність лінійки та циркуля не може виробити. Побудова квадрата з кола потребує побудови довжини √π, а π трансцендентне (Ліндеманн, 1882), тобто воно навіть не є коренем будь-якого поліноміального рівняння з раціональними коефіцієнтами, не кажучи вже про таке, яке можна отримати шляхом ітераційного застосування квадратних коренів. Це не невдалі спроби винахідництва; це те саме твердження, яке зробив Гаусс щодо 17-екантана в оберненому вигляді — інструменти визначають токує алгебраїчний пісочницю, і або ваша цільова довжина знаходиться всередині неї, або вона доводиться непродуктивною.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Compass & Straightedge Constructions і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.