A = P · (1 + r/n) n·t

📖 Формула та параметри

Повна формула складних відсотків

A = P · (1 + r/n)^n·t де: P — початковий капітал; r — річна відсоткова ставка (дробом); n — кількість нарахувань на рік; t — кількість років

P (Principal) — початкова сума вкладу або позики
r — річна ставка у десятковій формі (10% = 0.10)
n — частота нарахувань: 1=річно, 4=щоквартально, 12=щомісяця, 365=щодня
t — строк у роках
A — кінцева сума (включно з відсотками)

Безперервне нарахування

A = P · e^r·t Граничний випадок: n → ∞. Число e ≈ 2.71828 (число Ейлера).

Реальна різниця між щоденним (n=365) і безперервним нарахуванням незначна: для 10% за 10 років різниця < 0.01%.

Порівняння частоти нарахувань (P=1000, r=10%, t=5 років)

Частота (n)	Формула	A (грн)
Щорічно (1)	(1 + 0.10)⁵	1610.51
Щоквартально (4)	(1 + 0.025)²⁰	1638.62
Щомісяця (12)	(1 + 0.00833)⁶⁰	1645.31
Щодня (365)	(1 + 0.000274)¹⁸²⁵	1648.61
Безперервно (∞)	e^(0.10×5)	1648.72

⚡ Правило 72

Правило 72

t ≈ 72 / r%

Приблизна кількість років для подвоєння капіталу. При ставці 6% річних: t ≈ 72/6 = 12 років.

Таблиця подвоєння

Ставка	За правилом 72	Точне значення
1%	72 роки	69.7 роки
3%	24 роки	23.4 роки
6%	12 років	11.9 роки
9%	8 років	8.04 роки
12%	6 років	6.12 роки
18%	4 роки	4.19 роки

✏️ Приклади

📌 Приклад 1: Банківський депозит

Вклад 50 000 грн на 3 роки під 8% річних (щомісячне нарахування). Яка сума в кінці?

P = 50000, r = 0.08, n = 12, t = 3

A = 50000 × (1 + 0.08/12)^(12×3)

A = 50000 × (1.00667)^36

A = 50000 × 1.2702 ≈ 63 508 грн

Дохід від відсотків: 63508 − 50000 = 13 508 грн

A ≈ 63 508 грн (дохід: 13 508 грн)

📌 Приклад 2: Інвестиції на 20 років

Інвестуємо 10 000 $ під 7% річних (щорічне нарахування). Скільки через 20 років?

A = 10000 × (1 + 0.07)^20 = 10000 × 1.07^20

1.07^20 ≈ 3.8697

A ≈ 10000 × 3.87 = $38 697

Правило 72: час подвоєння ≈ 72/7 ≈ 10.3 роки → за 20 р. капітал ×4 ✓

A ≈ $38 697 (×3.87 від початкової суми)

📌 Приклад 3: Інфляція (зворотне застосування)

Товар коштує 1000 грн. При інфляції 5% на рік — скільки він коштуватиме через 10 років?

A = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.6289 ≈ 1629 грн

Купівельна сила 1000 грн через 10 років = 1000/1.6289 ≈ 614 грн сьогоднішніх

Ціна зросте до ~1629 грн; гроші знецінились на ~39%

🎯 Застосування

🏦 Банківські депозити

Нарахування відсотків на вклади. Капіталізація — додавання нарахованих відсотків до основної суми.

💳 Кредити

Кредитні картки, ліпотека — складні відсотки на боргу. Важливо розуміти реальну вартість кредиту (APR vs APY).

📈 Фондовий ринок

Середньорічна дохідність S&P 500 ≈ 10% (номінально). Реінвестування дивідендів — складні відсотки в дії.

🧮 NPV та дисконтування

DCF-аналіз використовує зворотну формулу: PV = FV / (1+r)^t для оцінки поточної вартості майбутніх грошових потоків.

🧮 Калькулятор складних відсотків → 📖 Стаття: NPV та IRR →

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Compound Interest Sim і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Compound Interest Sim

Складні відсотки