Kompas & Prostokątna Linia: Co Dwa Narzędzia Mogą i Nie Mogą Zbudować

Dwa narzędzia: nieoznakowany regiel i rozkładający się kompas

Konstrukcje z użyciem compasu i regionu to geometria pozbawiona wszelkich dodatków – regiel rysujący nieskończoną linię przez dwa znane punkty, a kompas rysujący okrąg o środku w znanym punkcie przechodzący przez inny znany punkt. Nie ma oznaczeń na regiele, nie używa się kątomierza ani miernika – każdy nowy punkt na figurze musi powstać jako przecięcie dwóch linii, dwóch okręgów lub linii i okręgu. Euclid zbudował pierwsze trzy księgi Elementów niemal w całości z tych dwóch ruchów, a dyscyplina polegająca na użyciu wyłącznie tego zestawu narzędzi nie jest przypadkową zmianą historyczną: to precyzyjny model tego, co można zbudować operując tylko na zasadach matematycznych i pierwiastkach kwadratowych, co właśnie wyjaśnia, dlaczego niektóre konstrukcje – trójkątowanie dowolnego kąta, obliczanie pola koła, podwojenie sześcianu – są dowodowo niemożliwe do wykonania z tymi narzędziami, niezależnie od tego, jak sprytnie się starać.

Prostokątna średnia przekroczna, w pięciu krokach

Każda poważna konstrukcja redukuje się do niewielkiej liczby prymitywnych ruchów powtarzanych i łączonych. Prostokątna średnia przekroczna odcinka AB jest najczystszym przykładem: narysuj okrąg o środku w punkcie A przechodzący przez punkt B, narysuj okrąg o środku w punkcie B przechodzący przez punkt A (takiego samego promienia, więc są kongruentne), a te dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Linia przechodząca przez te dwa przecinające się punkty jest dokładnie prostokątną średnią przekroczną — jest ona równoległa do AB, ponieważ każdy punkt na jednym z tych okręgów znajduje się w tej samej odległości od swojego środka.

1. koło(środek=A, promień=AB) 2. koło(środek=B, promień=AB) 3. P, Q = punkty przecięcia okręgu 1 i okręgu 2 4. linia(P, Q) <- prostokątna średnia przekroczna AB, środek = linia ∩ AB

1. circle(center=A, radius=AB)
2. circle(center=B, radius=AB)
3. P, Q = intersections of circle 1 and circle 2
4. line(P, Q)          <- perpendicular bisector of AB, midpoint = line ∩ AB

Budowanie regularnego szembierza za darmo

Regularny szembierz to konstrukcja, która sprawia, że początkujący wлюбują się w compasie, ponieważ nie wymaga prawie żadnej sprytu: otwórz compas do dowolnego promienia r, narysuj okrąg, a następnie, bez zmiany promienia, przesuń się po obwodzie oznaczając sześć łuków. Zamkną się one idealnie w ósmym kroku. Powód jest przypadkowość zębów – łuk równy promieniowi subtenduje kąt 60°, ponieważ trójkąt utworzony przez dwa promienie i ten łuk jest równoboczny (dwa boki to promienie, trzeci równa się promieniu dzięki konstrukcji, więc wszystkie trzy kąty wynoszą 60°). Sześć kopii kąta 60° wypełnia dokładnie okrąg 360°, dlatego ta konstrukcja, sama w sobie spośród regularnych wielokątów, nie wymaga żadnych punktów pomocniczych.

Pentagon Richmonda: pierwszy naprawdę trudny przypadek

Regularny pentagon to miejsce, gdzie konstrukcja z użyciem kompasu i prostego kresła przestaje być sztuczką i zaczyna być algebrą. Jego kąt przy wierzchołkowy potrzebuje cos 36° = (1+√5)/4, a √5 jest długością, której nie da się wyciągnąć z okręgu tak, jak wyciągany jest łuk – trzeba ją zbudować jako przeciwległą przekatną trójkąta prostokątnego o bokach 1 i 2, korzystając z zależności Pitagorowej. Konstrukcja Herbert Richmonda z 1893 roku to dokładnie takie działanie: dzieli promienie, wykorzystuje podzielony punkt jako środek pomocniczego okręgu o promieniu równym odległości do punktu już znajdującego się na głównym okręgu (który jest długości √5/2 odległy od siebie za pomocą twierdzenia Pitagorowego), a to jedno ukryte pierwiastkowanie to właśnie sprawia, że cos 36° jest konstruowalny, a cos(360°/7) – dla regularnego heptygonu – nie.

constructible with compass & straightedge  <=>  the required lengths lie in a tower of
field extensions each of degree 2 over the rationals (started at 1, closed under +,-,*,/,sqrt)

regular n-gon constructible  <=>  n = 2^k * p1 * p2 * ... (distinct Fermat primes 3,5,17,257,65537)
=> 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 ... YES     7, 9, 11, 13, 14, 18 ... NO

Dlaczego niektóre rzeczy nigdy nie da się zbudować

Każdy punkt, który można osiągnąć za pomocą trójkątnika i kompasu, rozpoczynając od dwóch podanych punktów, ma współrzędne, które znajdują się w wieży pól, z każdej kolejnej uzyskanej przez dołączenie jednego pierwiastka kwadratowego – to twierdzenie, a nie przypowieść, udowodnione rygorystycznie po tym, jak Descartes przekształcił geometrię w algebrę, a Wantzel sformalizował argumentację teoretyczną o polu w 1837 roku. Trójkątowanie kątów wymaga pierwiastka rzeczywistego z rzeczywiście sześciennej równania, cos(θ/3) w odniesieniu do cos θ, i pierwiastek ogólnego sześcianu nie znajduje się w żadnej wieży rozszerzanej przez pierwiastki kwadratowe – potrzebuje on pierwiastka sześciennego, którego żaden sekwencja trójkątników i kompasów nie może wygenerować. Konstrukcja okręgu wymagałaby skonstruowania długości √π, a π jest transcendentalne (Lindemann, 1882), co oznacza, że nawet nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych, a co dopiero takiego, który można uzyskać przez iteracyjne pierwiastki kwadratowe. Nie są to porażki w kwestii pomysłowości; jest to to samo stwierdzenie, które Gauss złożył na temat 17-kąta w odwrotnym sensie – narzędzia definiują dokładny algebryczny piaskownię, a albo Twój docelowy długość znajduje się w niej, albo udowodniono, że nie znajduje się.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Compass & Straightedge Constructions i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.