Катенарія: Форма вішаного ланцюга

Ланцюг, що встановлює рівновагу в кожній точці

Прикріпіть гнучкий, нерозтяжний ланцюг або трос вільно між двома фіксованими точками і дозвольте йому відпочити під власною вагою. Оскільки ланцюг не має опору згинанню – це чисто напруга, без жорсткості – його кінцева форма повністю визначається одним умовою: кожен міліметр ланцюга повинен перебувати в рівновазі сил, де на нього діє натяг від сусіднього сегменту та сила тяжіння, що діє прямо вниз, і нічого більше, щоб прискорити його. Розв’яжіть цю умову вздовж всієї довжини кривої, і відповідь – катенара, від лат. *catena*, ланцюг.

Не парабола – гиперболический косинус

Зізнаємося, спокусливо припускати, що висяча ланцюг має форму параболи, і саме такий висновок зробив Галилеєв у початках XVII століття. Це близьке твердження для неглибокого прогину, але неправильне в цілому, а правильний розрахунок, проведений пізніше Лейбніцем, Гюйгенсом та Йоганном Бернуллі, дає зовсім іншу криву – гіперболичний косинус.

y(x) = a * cosh(x / a) = a * (e^(x/a) + e^(-x/a)) / 2 a = H / w H = горизонтальна напружена складова (постійна для ланцюга) w = вага одиничної довжини ланцюга Параметр a визначає, наскільки щільно накладена крива: велика горизонтальна напруга H відносно ваги w дає велике значення a та неглибокий, майже плоский прогин; мала напруга H дає мале значення a та різко вигнутий, глибоко опускається ланцюг. Оскільки парабола завантажується рівномірно на одиницю горизонтального проміжку, а висячий ланцюг – рівномірно на одиницю власної дуги, ці дві криві справді відрізняються – найочевидніше біля опор, де швидкість зміни довжини дуги ланцюга відносно горизонтальної відстані зростає найшвидше.

y(x) = a * cosh(x / a) = a * (e^(x/a) + e^(-x/a)) / 2

a = H / w    H = horizontal tension component (constant along the chain)
             w = weight per unit length of chain

Напруга змінюється, але завжди спрямована вздовж дуги

Важливо зазначити: напруження в підвішеному ланцюгу не є постійним по всій довжині. Його горизонтальна складова H постійна всюди – протистояти їй нічого іншого – але загальне напруження збільшується до опор, оскільки саме там ланцюг також повинен передавати накопижену вагу всього, що висить нижче цієї точки, додану як вертикальна складова. На найнижчій точці прогибу ланцюг миттєво горизонтальний, і його напруження там чисто горизонтальне, рівне H; в опорах напруга найбільша та найбільш крута.

Переверніть його догори дном, і він стане найсильнішою аркою

Найбільш помітна практична властивість катенарії проявляється, коли її перевернути. Підвішена ланцюгова конструкція несе власну вагу виключно в натяженні, без будь-якого згинання вздовж всієї довжини — усі внутрішні сили лежать точно по кривизні. Перевертаючи цю саму форму в арку, гравітація, яка тепер тисне вниз замість того, щоб тягнути вниз, штовхає по тих самих лініях, які раніше слідила напруга ланцюга, перетворюючи кожну силу натягу на рівну стислий силу. В результаті виходить перевернута катенарична арка, яка несе власну вагу виключно в стисненні, без будь-якого моменту згинання — теоретильно ідеальна, найбільш ефективна за матеріалом форма арки для конструкції, навантаженої лише власною вагою. Роберт Хоук сформулював цей принцип у 1675 році як шифр – «як висить гнучка лінія, так перевернута й стоятиме жорстка арка» — а Антоніо Гауді відомо використовував моделі ланцюгів, навантажені важкими сумками, для проектування стислих каменів арок і склепінь Sagrada Família.

Де парабола є правильною відповіддю замість катаної кривої

Не кожний натягнутий трос – це катана. Форма залежить від розподілу навантаження. Основні троси підвісних мостів з’єднуються з розташованими близько вертикальними підтримками, які несуть вагу дорожнього полотна, і ця вага сумісна приблизно однакова на одиницю горизонтальної ширини, а не на одиницю довжини тросу. Розв’язуючи таку ж умову рівноваги сил та отримуючи форму, що виникає, це буде справжня парабола, а не катана – незначна, але реальна відмінність, яка часто розмивається в неофіційних описах підвісних мостів, але має значення для тих, хто обчислює геометрію тросу.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Catenary і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.