Amplitudź Drgań Pendulowego

Łańcuch ustalający równowagę w każdym punkcie

Zawiesić elastyczny, nieodkształcalny łańcuch lub kabel swobodnie między dwoma nieruchomymi punktami i pozwolić mu osiągnąć stan równowagi pod wpływem własnego ciężaru. Ponieważ łańcuch nie posiada oporu na zginanie – jest to czyste naprężenie, brak sztywności – jego ostateczny kształt jest w pełni określony jednym warunkiem: każdy mały segment łańcucha musi być w stanie równowagi sił, przy czym naprężenie ciągnie go od każdego sąsiedniego segmentu, a siła grawitacji działa prostopadle w dół, bez pozostawiania nadmiaru energii do przyspieszenia. Rozwiązanie tego warunku na całej długości krzywej prowadzi do odpowiedzi – krzywej katenarycznej, pochodzącej z łaciny *catena*, łańcuch.

Nie parabola – hiperboliczna cosinus

Jest kuszące zakładać, że wiszący łańcuch jest parabolą, a Galileo sam w XVII wieku doszedł do podobnego wniosku. Jest to bliskie dla małego pochylenia, ale błędne ogólnie, a poprawne wywodzenie, opracowane później przez Leibniza, Huygensa i Johanna Bernoulliego, daje zupełnie inną krzywą – hiperboliczną cosinus.

y(x) = a * ch(x / a) = a * (e^(x/a) + e^(-x/a)) / 2 a = H / w H = składowa napędowa pozioma (stała dla łańcucha) w = ciężar na jednostkę długości łańcucha Parametr a określa, jak ściśle narysowana jest krzywizna: duża składowa napędowa pozioma H w stosunku do ciężaru łańcucha w, daje duży a i płytki, prawie płaski pochylenie; mała H daje mały a i ostro zakrzywiony, głęboko opadający łańcuch. Ponieważ parabola jest obciążona równomiernie na jednostkę długości poziomego odcinka, a wiszący łańcuch jest obciążony równomiernie na długość własnego łuku, obie krzywe różnią się naprawdę – najbardziej zauważalnie w pobliżu podpór, gdzie długość łuku łańcucha na jednostkę odległości poziomej rośnie najszybciej.

y(x) = a * cosh(x / a) = a * (e^(x/a) + e^(-x/a)) / 2

a = H / w    H = horizontal tension component (constant along the chain)
             w = weight per unit length of chain

Różnica napięcia, ale zawsze wskazuje na krzywą

Warto podkreślić pewną subtelność: napięcie w wiszącym łańcuchu nie jest stałe wzdłuż jego długości. Komponent poziomy H jest stały wszędzie — nie ma niczego innego, co mogłoby się z nim równoważyć — ale całkowite napięcie zbliża się do podpór, ponieważ tam łańcuch musi również przenosić zgromadzoną masę wszystkiego wiszącego poniżej tego punktu, dodaną jako komponent pionowy. Na najniższym punkcie zwisania łańcuch jest na moment poziomy i jego napięcie w tym miejscu jest wyłącznie poziome, równe H; przy podporach napięcie jest największe i najbardziej nachylone.

Odwrotnie i staje się najsilniejszym łukiem

Najbardziej charakterystyczną właściwością łuku cieczy jest jej zachowanie, gdy go odwrócisz. Wiszący łańcuch przenosi własny ciężar wyłącznie w postaci naprężenia, bez żadnego odkształcenia na całej jego długości – wszystkie siły wewnętrzne leżą dokładnie wzdłuż krzywej. Odwróć ten sam kształt w łuk, a grawitacja, teraz działająca w dół zamiast ciągnąć w górę, oddziałuje po tych samych liniach, które wcześniej podążał za naprężeniem łańcucha, przekształcając każde napięcie w równą siłę ściskaniu. Wynikiem jest odwrócony łuk cieplowy, który przenosi swój ciężar wyłącznie poprzez ściskanie, bez żadnego momentu zginania – teoretycznie idealny, najbardziej efektywny kształt materiałowy dla konstrukcji obciążonej jedynie własnym ciężarem. Robert Hooke sformułował tę zasadę w 1675 roku jako szyfr - "jak zawiesza się elastyczna linia, tak samo odwrócona stanie się sztywny łuk" – a Antoni Gaudí słynnie wykorzystywał modele wiszących łańcuchów obciążone torbami z ciężarkami do projektowania kompresyjnych łuków i sklepień z kamienia w Sagrada Família.

Gdzie parabola jest właściwą odpowiedzią zamiast

Nie każdy zawiesiony kabel to krzywa cynetyczna – kształt zależy od rozkładu obciążenia. Głównych lin mostów wiszących podtrzymują blisko rozmieszczone pionowe podpory, które przenoszą ciężar płyty jezdnej, a ten ciężar jest zasadniczo równomierny na jednostkę długości poziomej, zamiast na jednostkę długości samej liny. Rozwiąż to samo równanie siłowe dla tego rozkładu obciążenia i otrzymany kształt to prawdziwa parabola, a nie krzywa cynetyczna – niewielka, ale realna różnica, która często jest pomijana w opisach mostów wiszących, ale ma znaczenie dla każdego, kto oblicza geometrię lin.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Catenary i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.