Збійний натовп (Bus Bunching): Фізика самодестабілізуючого розкладу

Розклад, який дестабілізується

Розмістіть кілька автобусів на замкненій ділянці маршруту з рівномірними інтервалами між відправленнями, і, якщо їх ніхто не контролює, вони не будуть залишатися рівномірно розсіяними – вони зійдуться в угрупованнях, один йде прямо за іншим, з довгими прогалинами на інших ділянках маршруту. Це не помилка водія чи випадкова погана удача; це позитивний зворотний зв’язок, вбудований у базові механіки фіксованого маршруту з часом перебування пасажирів, і він математично неминучий, якщо ніщо активно його не компенсує.

Припустимо, один автобус трохи відстає від графіка, будь-якої причини – затор, повільне посадка пасажирів, червоне світло. Оскільки з моменту попереднього проходження автобуса пройшло більше часу, більше пасажирів накопичилося на кожній наступній зупинці, чекаючи на нього. Завантаження всіх з них займає більше часу, що затримує автобус ще більше, що означає, що ще більше пасажирів накопичується на зупинці після неї. Водночас, автобус позаду нього прибуває на зупинки раніше після відстаючого автобуса (який лише випустив їх), знаходить менше чекаючих пасажирів, проводить менше часу на зупинці та поступово наздоганяє його. Затримка одного автобуса та рух наступного підсилюють один одного до тих пір, поки вони не їдуть один за одним – утворюється угрупування.

Відгук, формально

Модель кожного автобуса як відстань між рейсами (час інтервалу до наступного автобуса) як динамічну змінну. Час перебування на зупинці зростає з кількістю чекаючих пасажирів, яке, в свою чергу, збільшується залежно від довжини поточного інтервалу між рейсами (чим більше часу минуло з моменту останнього рейсу, тим більше людей прибуло). Автобус із середньою та більшою відстанню між рейсами накопичує більший штраф за час перебування на зупинці, що ще більше збільшує відстань між рейсами; автобус із меншою відстанню між рейсами потребує меншого часу перебування на зупинці і отримує перевагу. Це робить абсолютно рівне розташування нестабільним рівновагою: будь-яке незначне збудження зростає в кожному наступному циклі, а не гасне, що пояснює надійне виникнення збиття (bunching) на будь-якому маршруті громадського транспорту з нерегулярним попитом пасажирів і без активного контролю – від моделі з двох автобусів до великих транспортних мереж.

headway_i(t)   = time gap between bus i and the bus ahead of it
waiting_i      ∝ headway_i(t)                (longer gap → more people waiting)
dwell_i        ∝ waiting_i                    (more people → longer boarding time)
headway_i(t+1) = headway_i(t) + dwell_i - dwell_(i-1)

d(headway)/dt > 0 for an above-average headway  →  positive feedback, unstable
→ without intervention, headways diverge until buses bunch pairwise

Читання з діаграми простору-часу

Намалюйте положення кожного автобуса вздовж маршруту проти часу, і характерний масивність стає неозпосередкованим: лінії, які спочатку приблизно рівномірно розташовані, поступово збігаються, перетинають одна одну, а потім йдуть паралельно та поруч – два або більше автобусів рухаються разом протягом решти симульованого періоду, тоді як проміжок перед лідером і позаду хвоста розростається в довгу порожню ділянку без надання послуг. Ця «збіжна» форма на діаграмі простору-часу є стандартною діагностичною ознакою, яку використовують транспортні планувальники для виявлення маршрутів, схильних до масивності, з реальних даних GPS.

Утримання контролю: стандартне рішення

Найбільш поширеним заходом боротьби є утримання контролю: визначаються одні або декілька точок вздовж маршруту, і якщо автобус прибуває до них раніше запланованого інтервалу, він навмисно зупиняється на зупинці доки не вистачить потрібної затримки перед тим, як дозволити йому продовжити рух. Це безпосередньо скасовує перевагу зворотного зв’язку для раннього автобуса – замість того, щоб набирати відстань і погіршувати дисбаланс, він змушений чекати, даючи змолоду автобусу позаду нього час самостійно наздогнати. Більш складний динамічний контроль (утримання на основі живої позиції автобусів попереду та за ними, а не фіксованого розкладу) робить ще краще, але навіть просте утримання в певних точках достатньо для того, щоб інтервали залишалися обмеженими поблизу їх цільових значень замість того, щоб збігатися в групи, і це використовується на реальних системах швидкого громадського транспорту саме з цієї причини.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bus Bunching і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.