Сфера Блоха: Кожен стан кубіта – одна точка

Від двох комплексних чисел до однієї точки на сфері

Загальний чистий стан кубіта записується як |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, де α та β – комплексні амплітуди, які задовольняють |α|² + |β|² = 1. На перший погляд це чотири дійсних числа, але нормалізація усуває один ступінь свободи, і — що особливо важливо — загальний глобальний фазний зсув стану не має фізичного впливу на будь-який результат вимірювання, тому його можна повністю відкинути, позбавляючи від іншого. Залишається рівно два дійсні параметри, саме кількість необхідних для визначення точки на поверхні сфери за допомогою двох кутів, θ та φ, подібно до широти та довготи на глобусі. Фелікс Блох представив це уявлення для ядерного спіну в 1940-х роках і воно без змін застосовується до будь-якої системи з двома рівняннями.

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩

θ ∈ [0, π]   polar angle — sets the |0⟩/|1⟩ mixture
φ ∈ [0, 2π)  azimuthal angle — the relative phase between |0⟩ and |1⟩

Полюси, екватор і все між ними

Північний полюс (θ = 0) відповідає стану |0⟩, а південний полюс (θ = π) – стану |1⟩. Точки на екваторі (θ = π/2) є рівними суперпозиціями, які відрізняються лише відносною фазою φ – стан (|0⟩ + |1⟩)/√2 знаходиться при φ = 0, а (|0⟩ + i|1⟩)/√2 – при φ = π/2, тобто на чверті кола. Важливо зазначити, що будь-яка точка всередині сфери, не на її поверхні, представляє собою змішаний стан – статистичний ансамбль замість узгодженої суперпозиції – з центром сфери як максимально змішаний стан, еквівалентний повністю декогерентному класичному кидку монети 50/50. Чистота буквально відповідає відстані від центру.

Ворота є обертаннями

Кожен окремий кубіт квантового ворота відповідає точно обертанню вектора Блоха навколо осі. Ворота Pauli-X – це обертання на 180° навколо осі x, яке перевертає стани |0⟩ та |1⟩ подібно до класичного NOT-ворота; Pauli-Y та Pauli-Z обертаються аналогічно навколо осей y- та z-. Ворота Гамільтона – це обертання, яке міняє ролі осі z- та осі x, відображаючи |0⟩ на екватор. Фазові ворота, такі як S та T, обертаються лише навколо осі z- під фіксованим кутом, змінюючи φ, але залишаючи θ незмінним. Фактично, будь-яка окрема одновимірна унарна операція, незалежно від складності, зводиться до одного обертання навколо однієї осі під певним кутом – безпосереднє наслідування того, як група 2x2 унарних матриць відображається на звичайні 3D обертання.

Незначна деталь: сфера є SU(2), помножена вдвічі

Для технічно підкованих: група квабітових унітарів (SU(2)) відображається на обертаннях сфери Болла (SO(3)) через дводовірне співвідношення — обертання базового квантового стану на кут θ у просторі Гільберта відповідає обертанню вектора Болла на 2θ на сфері. Це відомий факт, що частинка зі спіном 1/2 потребує повного обертання в 720° замість 360°, щоб повернутися точно до свого початкового квантового стану. Сфера Болла сама по собі приховує це, оскільки вже відкинула глобальну фазу, де живе ця різниця, але ефект реальний і проявляється в інтерференційних експериментах, чутливих до цієї відкинутої фази.

За межами одного кубіта

Зображення блохівської сфери є точним і повним лише для окремого кубіта. Двоє або більше заплутаних кубітів живуть у просторі вищої розмірності, який не має простого 3D представлення — стан заплутування двох кубітів не може бути намальований як дві окремі точки на двох окремих сферах, що саме по собі пояснюється тим, що окремі кубіти не мають чітко визначених власних чистових станів. Визначення одного кубіта з пари заплутування залишає інший у змішаному стані, точку всередині власної сфери, а не на її поверхні. Ця проміжна зона є точно тому, чому заплутування протистоїть легкому візуалізуванню та чому воно відрізняється від звичайного однокубітного суперпозиції.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bloch Sphere і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.