Відхилення променя за допомогою FEM: елементи… |…

Від тросової балки до балки

Тросова балка несе лише прикладені сили та потребує одного поступального ступеня свободи (DOF) в кожній точці. Балка протистоїть згинанню поряд із прикладеним навантаженням, тому кожна точка потребує DOF для поперечного зміщення та обертання. Класичний елемент Ейлера-Бернуллі припускає, що плоскі перерізи залишаються плоскими і перпендикулярними до нейтральної осі (без деформації від поперечного зсуву), надаючи кубічне (Гермітове) поле зміщень між точками — цей точний матрицю жорсткості використовується методом кінцених елементів для моделювання балки за простопідтримуваними, закріпленими на одному кінці або фіксованими граничними умовами.

Local beam stiffness (bending only, 4×4, DOFs: v1,θ1,v2,θ2):

  k_beam = (EI/L³) · [  12     6L   -12     6L  ]
                      [  6L    4L²  -6L     2L²  ]
                      [ -12   -6L    12    -6L  ]
                      [  6L    2L²  -6L     4L²  ]

  E = Young's modulus,  I = second moment of area
  L = element length,  v = transverse deflection,  θ = rotation

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Чому кубічні Гермітови функції форми

Закон, що регулює згинання балки, EI·v'''' = q, є четвертого порядку, що означає, що рішення методом кінцевих елементів має бути безперервним як у переміщенні, так і в нахилі через межі елемента – це називається безперервність C¹ . Кубічні Гермітові функції форми, які використовуються у стандартному елементі балки, одночасно інтерполюють переміщення та нахил, що гарантує автоматично цю безперервність. Елементи Тимошенка розширюють формулювання, включаючи поздовжнє зсувне деформування, яке стає значним для коротких, глибоких балок, коли відношення довжини до висоти падає нижче приблизно 10.

Збірка та читання деформованої форми

Як і для елементів трикутника, локальна жорсткість кожного елемента балки збирається в глобальну матрицю K, граничні умови застосовуються шляхом розділення ступенів свободи, що є вільно та підтримуються, а рівняння K_ff·D_f = F_f розв’язується для невідомих вузлових деформацій та обертів. Після знаходження D_f, локальні деформації кожного елемента відновлюються та використовуються для реконструкції деформованої форми шляхом інтерполяції кубічних Гермітових функцій в межах елементу, а також відповідних діаграм моментів вигину та зсуву, отриманих за допомогою похідних від кривої деформації – точно так само, як і інтерактивне візуалізація, що використовується в браузерному симуляторі балок.

Зміна граничних умов змінює все

Одна й та ж балка, одна й той самий навантаження та матеріал дають кардинально різні результати в залежності від того, як закріплені її кінці. Бабка, яка кріпиться в одній точці, повністю вільна в іншій, створює найбільший згин і максимальний момент викривування, що досягається в точці кріплення. Просто підвішена балка дозволяє обертання в обох кінцях, але запобігає зміщенню, забезпечуючи більш плавну криву деформації. Бабка з фіксованими кінцями обмежує як зміщення, так і обертання в обох кінцях, що призводить до найменшого згину серед трьох для заданого навантаження – прямий результат додавання обертальної жорсткості в глобальній матриці жорсткості.

Frequently asked questions

Чому елементу балки потрібна вільність обертання, на відміну від балочної балки?

Балочна балка лише розтягується або стискається вздовж осі, тому кожна точка потребує лише трансляційного ступеня свободи. Бакла ж протистоїть згинанню, тому її поперечний переріз обертається під час деформації — отже, кожна точка потребує як трансляційного зміщення v, так і обертання θ. Залежна рівняння EI·v'''' = q є четвертого порядку, що вимагає безперервності поля зміни (C¹ безперервність) в значенні та нахилі через межі елемента, що відповідає кубічним Hermite функціям форми, які використовуються у стандартному елементі балки.

Яка різниця між елементами Euler-Bernoulli та Timoshenko?

Елемент Euler-Bernoulli припускає, що плоскі перерізи залишаються плоскими і перпендикулярними нейтральній осі, повністю ігноруючи деформацію від поперечного зсуву — це точно для тонких балок. Елементи Timoshenko додають поперечний зсувний деформування до формулювання, що має значення для коротких, глибоких балок, коли співвідношення довжини до висоти падає нижче приблизно 10, оскільки гнучкість від зсуву стає значною часткою загальної деформації в цьому режимі.

Як зміниться деформація залежно від умов опори (запорна, балочна, фіксована)?

Умови опори визначають, які трансляційні та обертальні ступені свободи обмежені нулем перед розв’язанням глобальної системи K_ff·D_f = F_f. Балочна підтримка фіксує як зміщення, так і обертання в одному кінці та залишає інший повністю вільним, що призводить до найбільшої деформації для заданої сили. Запорна підтримка фіксує зміщення на обох кінцях, але дозволяє обертання, а фіксована фіксує як зміщення, так і обертання на обох кінцях, що призводить до найменшої деформації та іншого розподілу моменту згинання вздовж прольоту.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію the simulation

Відхилення променя за допомогою FEM: елементи Euler-Bernulli