Deflexja Elementów Belek przy Użyciu Metody Sposobu Skończonego: Elementy Euler-Bernoulli

Od belki zębowej do belki

Belka zębowa przenosi jedynie siłę osiową i wymaga jednego stopnia swobody translationalnej (DOF) w każdym węźle. Belka natomiast opiera się na odkształceniach mimoślimych oprócz siły osiowej, dlatego każdy węzeł musi posiadać dwa stopnie swobody: przesunięcie poprzeczne i obrót. Klasyczny element Euler-Bernoulli belki zakłada, że przekroje płaszczyznowe pozostają płaskie i prostopadłe do osi nienaruszalnej (bez odkształceń poprzecznych), co daje pole wyznacznika sześcioelementowego (Hermite) pomiędzy węzłami – to dokładny macierz sztywności, który wykorzystuje metoda elementów skończonych do modelowania belki pod warunkami brzegowymi wspartymi, przestawnymi lub stałymi.

Local beam stiffness (bending only, 4×4, DOFs: v1,θ1,v2,θ2):

  k_beam = (EI/L³) · [  12     6L   -12     6L  ]
                      [  6L    4L²  -6L     2L²  ]
                      [ -12   -6L    12    -6L  ]
                      [  6L    2L²  -6L     4L²  ]

  E = Young's modulus,  I = second moment of area
  L = element length,  v = transverse deflection,  θ = rotation

Why Hermite cubic shape functions

The governing equation for beam bending, EI·v'''' = q, is fourth order, which means the finite element solution must be continuous in both displacement and slope across element boundaries — so-called C¹ continuity. The cubic Hermite shape functions used in the standard beam element interpolate both displacement and slope simultaneously, guaranteeing this continuity automatically. Timoshenko beam elements extend the formulation to include transverse shear deformation, which becomes significant for short, deep beams where the span-to-depth ratio drops below about 10.

Montaż i odczytywanie kształtu wygięcia

Podobnie jak w przypadku elementów kratownicowych, lokalna sztywność każdego elementu belki jest składana do globalnej macierzy K, a warunki brzegowe są nakładane poprzez podział stopni swobody wolnych i podporzonych, a równanie K_ff·D_f = F_f jest rozwiązywane dla nieznanych przemieszczeń i obrotów węzłowych. Po znalezieniu D_f, lokalne przemieszczenia każdego elementu są odzyskiwane i wykorzystywane do rekonstrukcji kształtu wygięcia poprzez interpolację funkcji Hermite'a trzeciego stopnia wewnątrz elementu, wraz z odpowiadającymi im diagramami momentów zginających i sił poprzecznych wyprowadzonymi z kolejnych pochodnych krzywej wygięcia – dokładnie taka interaktywna wizualizacja wykorzystywana jest w symulatorze belki opartym na przeglądarce.

Boundary conditions change everything

The same beam, load and material give dramatically different results depending on how the ends are supported. A cantilever — fixed at one end, completely free at the other — produces the largest deflection and a bending moment that peaks at the fixed support. A simply supported beam allows rotation at both ends while preventing displacement, giving a smoother deflection curve. A fixed-fixed beam constrains both displacement and rotation at both ends, producing the smallest deflection of the three for a given load — the direct payoff of adding rotational stiffness at the supports in the global stiffness matrix.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.