Як метод прямої жорсткості FEM аналізує ванну споруду |… |…

Метод прямої жорсткості

Structural FEM передує загальній методології continuum FEM на десятиліття, розвиваючись з аналізу матриць каркасів, розроблених для авіаційного проектування в 1950-х роках. Основна ідея: моделювати міст як мережу одновимірних балок, з’єднаних у дискретних вузлах. Кожна балка має відому залежність між силами на її кінцях та деформаціями на її кінцях — матрицю жорсткості елемента. Об'єднайте матрицю жорсткості кожного члена в одну велику глобальну матрицю жорсткості, застосуйте навантаження та опори та розв’яжіть лінійну систему F = K·D для невідомих вузлових деформацій.

Тросові (балочні) елементи: лише прикладна сила

Тросовий елемент несе лише прикласну силу — натяг або стиснення вздовж своєї довжини, і закріплений по обидва кінці, тому не передає жодного згинального моменту. У локальних координатах (x′ вздовж балону) 2-нодинний балон із прикладною жорсткістю EA/L має точкову матрицю жорсткості:

Локальна жорсткість балону (лише прикладна дія, 2×2): k_local = (EA/L) · [ 1 -1 ] [-1 1 ] Виведення: прикладна сила N = EA·(du/dx). Оскільки зміщення u(x) змінюється лінійно між вузлами, du/dx є постійним вздовж елемента, отже енергія напруження інтегрована точно — не потрібна Гаусова квадратура, як у загальному FEM елемент. У 2D кожен вузол має 2 перемірювальні ступені свободи, тому локальна прикладна жорсткість повинна бути повернута в глобальні координати x-y за допомогою напрямкових кутів балону перед збиранням. Модель тросу мосту зазвичай має лише кілька сотень тросів і вузлів — достатньо малого розміру, щоб вирішити вручну до появи комп'ютерів, що й пояснює, чому метод був розроблений для тросов споруд першим.

Local bar stiffness (axial DOF only, 2×2):
  k_local = (EA/L) · [ 1  -1 ]
                      [-1   1 ]

Derivation: axial force N = EA·(du/dx). Since displacement u(x)
varies linearly between nodes, du/dx is constant along the
element, so the strain energy integral is exact — no Gauss
quadrature needed, unlike a general FEM element.

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Збирання та розв’язання глобальної системи

Збирання відображає координовані ступені свободи кожного елемента в їхнє положення в глобальній нумерації, додаючи трансформований матрицю елементу до глобальної матриці жорсткості. Потім граничні умови розділяють ступені свободи на вільні (f) та підтримувані (s):

[ K_ff K_fs ] [ D_f ] [ F_f ] [ K_sf K_ss ] [ D_s ] = [ R_s ] Розв’язання: K_ff · D_f = F_f - K_fs · D_s для невідомих D_f Потім реакції: R_s = K_sf · D_f + K_ss · D_s K є розрідженою та смугастою — кожен вузол з’єднаний лише з кількома сусідніми членами, тому більшість значень дорівнює нулю, і перенумерація DOF для мінімізації ширини смуги значно прискорює розв’язання. Після того, як відомі вільні зміщення D_f, внутрішня поздовжня сила кожного елемента відновлюється безпосередньо з k_local · d_e для цього члена.

[ K_ff  K_fs ] [ D_f ]   [ F_f ]
[ K_sf  K_ss ] [ D_s ] = [ R_s ]

Solve:  K_ff · D_f = F_f - K_fs · D_s   for unknown D_f
Then reactions:  R_s = K_sf · D_f + K_ss · D_s

Читання карти напружень/стиснення

Різні геометрії трикусів — Pratt, Howe, Warren — по-різному розподіляють сили через свої діагоналі під дією одного й того самого навантаження, що саме і розкриває метод обчислення жорсткості, член за членом. Позитивне відновилося прикладене здавлення означає, що елемент розтягується (натяг); негативна величина означає, що він стискається (стиснення) — основа кольорової теплової карти, яка використовується для візуалізації того, як навантаження проходить через трикусний міст, і той самий розрахунок, який проводить інженер для визначення розміру кожного елемента для реальної конструкції.

Часті запитання

Чому члени конструкції трикусів можна моделювати за допомогою простої матриці жорсткості 2×2?

Трикусний елемент несе лише прикладене поздовжнє зусилля та закріплений по обидва кінці, тому не передає згинального моменту. Оскільки поле деформацій вздовж балки лінійне, напруження du/dx є постійним, і точна матриця жорсткості k = (EA/L)·[[1,-1],[-1,1]] виникає безпосередньо з енергії деформації без будь-якого чисельного інтегрування — на відміну від балки або загального елементу континууму.

Як розв’язник визначає, які члени перебувають у натягу, а які – у стисненні?

Після розв’язання рівняння K_ff·D_f = F_f для невідомих вузлових деформацій, локальні деформації кожного елементу відновлюються та множаться на його локальну матрицю жорсткості (k_local · d_e), щоб отримати внутрішнє поздовне зусилля. Позитивне значення відповідає натягу (член розтягується), а негативне – стисненню (член стискається) — це точно те, що фарбує кожен бак у тепловій карті натяг/стиск.

Чому метод прямої жорсткості був розроблений для трикусів до появи загального методу скінченних елементів?

Структурний аналіз матриць каркасів передував загальному методу скінченних елементів на десятиліття — він виник з авіаційного проектування в 1950-х роках. Модель трикусів мосту або даху зазвичай містить лише кілька сотень балок і вузлів, що робить її достатньо малою для того, щоб інженери могли складати та розв’язувати рівняння жорсткості вручну або на ранніх комп’ютерах, до появи загального програмного забезпечення для кінцевих елементів для будь-яких форм континууму.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію the simulation