Struktura pasm i poziom fermiego: Dlaczego niektóre ciała stałe przewodzą, a inne nie

Od poziomów atomowych do pasm

Poszczególne atomy posiadają ostre, dyskretne poziomy energetyczne. Jeśli zebrze się około 10²³ takich atomów w kryształ, każdy poziom nie pozostaje niezmieniony – dzieli się na tak wiele bliskością rozmieszczonych podpoziomów, jak to liczba atomów. Każdy elektron odczuwa teraz okresowy potencjał całego układu krystalicznego zamiast pojedynczego jądra. Wystarczająco dużo atomów i te podpoziomy zlewają się w quasi-ciągły pas dopuszczonych energii. Pomiędzy sąsiednimi pasmami może występować zakres energii bez stanów dopuszczalnych – przerwę energetyczną, a to, czy istnieje i jak szeroka jest, decyduje o tym, czy materia jest metalem, izolantem lub półprzewodnikiem.

Twierdzenie Blocha i zależność E(k)

Felix Bloch w 1928 roku wykazał, że elektron poruszający się w idealnie periodicznym potencjale ma funkcje fal o specjalnym kształcie: fala płaska modulowana przez funkcję o tej samej okresowości co sieć. Każde dopuszczalne stanie jest oznaczane wektorem fali k, a przedstawienie energii w funkcji k daje zależność dyspersji E(k), która definiuje pas.

Twierdzenie Blocha: ψ_k(r) = e^{ikr} u_k(r), u_k(r + a) = u_k(r)

Kronig-Penney (1D siatka kwadratowego rowka o okresie a) daje następującą zależność dyspersji implicitną: cos(ka) = cos(αa)·cosh(βb) + (α² − β²)/(2αβ)·sin(αa)·sinh(βb)

Rozwiązania istnieją tylko dla zakresów energii spełniających warunek |RHS| <= 1 – zakresy pomiędzy nimi stanowią pasma zerową energię. Puste obszary pojawiają się na obrzeżach strefy Brillouin, gdzie długość fali elektronu odpowiada bliskości odstępu między siatkami, co prowadzi do interferencji fal przesyłanych do przodu i do tyłu w sposób podobny do dyfrakcji X-ów w dyfracji Bragg. Dwie powstałe stojące fale gromadzą gęstość elektronów albo na szczytach dodatnich jądrowych, albo pomiędzy nimi; różnica energii Coulomba między tymi dwoma rozkładami ładunków jest dokładnie szerokością pasma.

Bloch's theorem:  ψ_k(r) = e^{ikr} u_k(r),   u_k(r + a) = u_k(r)

Kronig-Penney (1D square-well lattice of period a) gives the
implicit dispersion relation:

  cos(ka) = cos(αa)·cosh(βb) + (α² − β²)/(2αβ)·sin(αa)·sinh(βb)

Solutions exist only for ranges of energy that satisfy |RHS| <= 1 —
the forbidden ranges in between are the band gaps.

Metale, izolatory, półprowadniki

Czy ciało stałe przewodzi prąd, zależy od tego, jak wypełnione są najwyżej zajęte poziomy energetyczne w temperaturze absolutnej. Metal ma częściowo wypełniony pas zabiegu, co oznacza, że istnieją puste stany o energii bliskiej zerowej powyżej szczytnego zajętego poziomu, więc jakiekolwiek pole może popchnąć elektrony do nich i prąd płynie swobodnie. Izolator ma całkowicie wypełniony pierwiastek, oddzielony od pustego pasa przewodzenia dużym rozcięciem – kilkoma elektronowoltami, co oznacza, że w zasadzie żaden elektron nie posiada wystarczającej energii cieplnej do pokonania tego rozcięcia. Półprzewodnik jest zbudowany w podobny sposób jak izolator, ale z mniejszym rozcięciem (około 1,1 eV dla krzemu, 1,4 eV dla arsenku galu), wystarczająco małe, aby znacząca liczba elektronów była cieplnie wzbudzona przez to rozcięcie w temperaturze pokojowej.

Dopacja i poziom fermiego

Położenie zajęcia w każdym stanie jest określane przez rozkład Fermiego-Dirac, a poziom fermiego Ef to energia, przy której prawdopodobieństwo zajęcia wynosi dokładnie połowę. W czystym (wrodzonym) krzemie Ef znajduje się prawie dokładnie w środku przerwy. Zastąp jeden atom krzemu na milion fosforem – z jednym dodatkowym elektronem niż krzem – i ten dodatkowy elektron osiedli się w płytkim poziomie dawki tuż pod krawędzią pasu kondukcyjnego; przy temperaturze pokojowej łatwo się jonizuje, a Ef przesuwa się w górę w kierunku pasu kondukcyjnego (n-typ). Zastąp jeden atom krzemu borowym – z jednym elektronem mniej – i wynikowy poziom akceptora blisko krawędzi przerwy przesunie Ef w dół (p-typ).

Fermi-Dirac occupation:   f(E) = 1 / ( exp((E − Ef)/kT) + 1 )

Intrinsic carrier density:   ni = sqrt(Nc·Nv) · exp(−Eg / 2kT)

Nc, Nv = effective density of states of the conduction/valence band
Eg     = band gap energy

Temperatura i stężenie nośników

Ponieważ ni zależy wznosząco od −Eg/2kT, stężenie nośników jest bardzo wrażliwe na temperaturę. Przy bardzo niskich temperaturach dawcy i akceptory zamarzają – brakuje im wystarczającej energii cieplnej do jonizacji, a przewodność upada. W normalnym zakresie pracy nośniki zewnętrzne z dopingowania dominują, a przewodność jest w przybliżeniu płaska. Podnieść temperaturę na tyle wysoko, że parami elektron-dziura generowanymi termicznie przeważają parami z całego gapu, materiał zachowuje się ponownie – co dokładnie powoduje, że symulacja pozwala na przesuwanie temperatury i obserwowanie reakcji poziomu Fermiego i populacji nośników.

Bezpośrednie vs. pośrednie przerwybające

Nie wszystkie przerwyby są tworzone równe dla optyki. W materiale o bezpośredniej przerwie, takim jak arsenek galu, minimum pasma przewodzenia i maksimum pasma walencyjne znajdują się w tym samym punkcie k, co oznacza, że elektron może emitować foton i bez problemu przechodzić przez przerwę – foton przenosi zasadniczo brak momentu pędu krystalicznego, więc moment pędu jest automatycznie zachowany. W przypadku krzemu przerwa jest pośrednia: minimum pasma przewodzenia znajduje się w innym punkcie k niż maksimum pasma walencyjne, co oznacza, że proces promieniownego rekombinacji również wymaga fononu do zrównoważenia różnicy momentu pędu. Ten trzyciańcowy proces jest znacznie mniej prawdopodobny, dlatego diody LED i lasery są budowane z materiałów o bezpośredniej przerwie, podczas gdy krzem – doskonały dla tranzystorów – słabo emituje światło.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Band Structure i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.