Gąsienica Apolloniusza: Uzupełnianie Każdego Próżni Stycznymi Okręgami

Trzy wzajemnie styczne okręgi, jedna formuła

Rozważmy trzy okręgi, które są wzajemnie styczne do siebie. Ile okrągów jest stycznych do wszystkich trzech? Apollonius z Pergy zadał to pytanie w III wieku p.n.e. i stwierdził, że istnieje genericznie dwa rozwiązania – jedno ukryte pomiędzy trzema, a drugie obejmujące wszystkie trzy. Descartes ponownie podjął tę sprawę w 1643 roku i odkrył relację czysto algebraiczna między czterema krzywiznami (odwrotność promienia każdego okręgu, k = 1/r) czterech wzajemnie stycznych okrągów.

Twierdzenie o Okręgu Descartes'a

Dla czterech wzajemnie stycznych okręgów o krzywiznach k1, k2, k3 i k4 (okrąg otaczający pozostałe traktuje się jako krzywą o ujemnej krzywiźnie, ponieważ zakrzywia się w przeciwnym kierunku), twierdzenie Descartes'a wyraża się wzorem:

(k1 + k2 + k3 + k4)² = 2(k1² + k2² + k3² + k4²) Rozwiązując to równanie kwadratowe względem czwartej krzywizny, znając pozostałe trzy, otrzymujemy praktyczny wzór konstrukcyjny na tworzenie gałki po jednym okręgu naraz:

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2√((k1 * k2) + (k2 * k3) + (k3 * k1)) Znak plus/minus odpowiada dokładnie dwóm rozwiązaniom Apolloniusa – małemu okręgu, który idealnie pasuje w zakrzywionym łuku między trzema okrągami, oraz dużego okręgu, który otaczałby te trzy okręgi. Aby wypełnić gałkę, zawsze należy użyć ramienia z dodawaniem, a mniejszy okrąg osadza się w pustym obszarze.

(k1 + k2 + k3 + k4)² = 2·(k1² + k2² + k3² + k4²)

Złożone twierdzenie Descartes’a: okręgi przenoszą pozycję, a nie tylko rozmiar

Wypukłość sama w sobie mówi nam o wielkości nowego okręgu, ale nie wskazuje, gdzie znajduje się jego środek. Twierdzenie Descartes’a ma rozszerzenie z wykorzystaniem liczb zespolonych odkryte przez Lagariasza, Mallows i Wilksa, które śledzi środek bezpośrednio: zdefiniuj iloczyn wypukłości i środka jako z = k(środek jako liczba zespolona) dla każdego okręgu. Następnie z4 spełnia tę samą równoległą formę co wypukłości:

z4 = z1 + z2 + z3 ± 2√ (z1*z2 + z2*z3 + z3*z1) Ponieważ ta formuła daje zarówno wielkość, jak i dokładną pozycję środka nowego okręgu w jednym kroku, sprawia ona, że gąszcz Apollonia jest praktyczny do renderowania: nie ma potrzeby rozwiązywania trygonometrycznych warunków tangencji, wystarczy wykonywać operacje na liczbach zespolonych rekurencyjnie dla każdego nowego trójkąta utworzonego przez trzy okręgi styczne względem siebie.

z4 = z1 + z2 + z3 ± 2·√(z1·z2 + z2·z3 + z3·z1)

Budowanie siatki Apollonowej rekurencyjnie

Rozpocznij od trzech wzajemnie stycznych okręgów (lub przypadku degeneracyjnym, jakim jest para równoległych linii i okrąg, konfiguracja o krzywizności 0, która również spełnia twierdzenie). Każde nowe wprowadzone okręt w powstałą szczelinę tworzy trzy nowe szczeliny - każda przeciwko każdemu z dwóch sąsiednich okręgów - co sprawia, że konstrukcja jest drzewem rekurencyjnym o charakterze trójkątnym. Na głębokości d powstaje około 3^d nowych okręgów i ich krzywizny rosną geometrycznie, dlatego siatka wypełnia wnętrzność okręgu ograniczającego nieskończenie wieloma, niewyobrażalnie małymi okręgami: pozostawiony pusty obszar ma miarę zerową w granicy.

Zaokrąglenia często są liczbami całkowitymi

Zauważalny fakt: jeśli zaczniemy od czterech wzajemnie stycznych okręgów, których krzywizny są wszystkie liczbami całkowitymi (najprostszym przykładem jest 0, 0, 1, 1 dla dwóch równoległych linii i dwóch okręgów jednostkowych, lub -1, 2, 2, 3 dla prawidłowego, ograniczonego gąszczu Apolloniusza), to każdy generowany okrąg, powtarzając wzór Descartes’a, również ma całkowitą krzywiznę. Wynika to z tego, że aktualizacja k4 = 2(k1+k2+k3) - k4_stare (prowadząca się do dwóch pierwiastków tego samego równania kwadratowego dzielącego się sumą) jest czysto addytywna po wyeliminowaniu pierwiastka kwadratowego między dwoma rozwiązaniami – nigdy nie wprowadzane są liczby niewyrównane. Te całkowite gąszcze Apolloniusza łączą się z teorią liczb: zbiór wszystkich krzywizn, które pojawiają się, zależy jedynie od reszt modulo 24, jakie zajmują początkowe krzywizny.

Wymiar fraktali

Gładź jest fraktalem: przybliż dowolną szczelinę i zobaczysz tę samą rekurencyjną strukturę okręgów stycznych w każdym skale. Jej wymiar Hausdorffa został obliczony numerycznie na około 1,3057 – pomiędzy linią (wymiar 1) a powierzchnią o zajętym obszarze (wymiar 2), co odzwierciedla fakt, że pozostały pusty obszar, nieustannie poddawany podziałowi, nadal posiada dodatni, choć subplanarny wymiar.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Apollonian Gasket i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.