PL 
EnglishDomyślny
Українська∫ Całka Riemanna
Podziel pole pod krzywą na prostokąty i porównaj metody lewą, prawą, punktu środkowego, trapezów i Simpsona wraz ze wzrostem liczby podziałów.
O tej symulacji
Ten symulator pokazuje, jak sumy Riemanna przybliżają całkę oznaczoną ∫ab f(x) dx, dzieląc przedział [a, b] na n pasków o równej szerokości Δx = (b−a)/n i sumując pola prostokątów lub trapezów zbudowanych na każdym pasku. Zaimplementowano pięć reguł próbkowania: lewą (wysokość f(xᵢ)), prawą (f(xᵢ₊₁)), środkową (f w środku paska), trapezów (średnia z wysokości na obu końcach) oraz regułę Simpsona, która dopasowuje parabolę przechodzącą przez lewy koniec, środek i prawy koniec każdej pary pasków. Podczas zmiany funkcji, przedziału, liczby podziałów n lub reguły płótno na bieżąco przerysowuje zacieniowane paski, a panel poniżej pokazuje przybliżoną sumę, dokładną wartość całki w postaci zamkniętej oraz błąd bezwzględny między nimi.
Co pokazuje
Symulacja pokazuje na żywo zbieżność pięciu reguł sum Riemanna (lewej, prawej, środkowej, trapezów, Simpsona) do dokładnej całki oznaczonej wybranej funkcji na przedziale [a, b] — błąd liczbowy maleje wraz ze wzrostem liczby podziałów n.
Jak z niej korzystać
Wybierz funkcję z listy rozwijanej, przeciągnij suwaki a / b, aby ustawić przedział, wybierz regułę próbkowania z zakładek, a następnie przeciągnij suwak n — obserwuj, jak zacieniowane paski coraz ściślej przylegają do krzywej, a wartość błędu maleje.
Czy wiesz, że…
Reguła Simpsona dopasowuje parabolę przez zaledwie trzy punkty próbkowania na parę pasków, a mimo to całkuje dokładnie każdy wielomian trzeciego stopnia — dodatkowa dokładność niemal bez dodatkowego kosztu w porównaniu ze zwykłą regułą trapezów.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest suma Riemanna?
Suma Riemanna szacuje pole pod krzywą f(x) na przedziale [a, b], dzieląc ten przedział na n pasków o równej szerokości Δx = (b−a)/n, wybierając wysokość próbki dla każdego paska i sumując pola powstałych prostokątów (lub trapezów). Wraz ze wzrostem n i zmniejszaniem się Δx suma zbiega do dokładnej całki oznaczonej ∫ab f(x) dx — ten symulator pozwala obserwować tę zbieżność jednocześnie dla kilku funkcji i reguł próbkowania.
Jaka jest różnica między regułą lewą, prawą i środkową?
Wszystkie trzy budują jeden prostokąt na pasek, ale próbkują f(x) w innym punkcie: reguła lewa wykorzystuje wysokość na początku paska, reguła prawa — na jego końcu, a reguła środkowa — w środku paska. Dla funkcji monotonicznej reguły lewa i prawa konsekwentnie zawyżają lub zaniżają rzeczywiste pole po przeciwnych stronach, natomiast błędy reguły środkowej z obu stron paska w dużej mierze się znoszą, dlatego przy tej samej wartości n jest ona wyraźnie dokładniejsza.
Dlaczego reguła Simpsona jest dokładniejsza od pozostałych?
Reguła Simpsona przybliża każdą parę pasków parabolą przechodzącą przez jej lewy koniec, środek i prawy koniec, zamiast płaskim lub liniowym wierzchołkiem. Ponieważ parabola potrafi odwzorować krzywiznę funkcji, a nie tylko jej nachylenie, reguła Simpsona całkuje dokładnie każdy wielomian do trzeciego stopnia, a jej błąd maleje znacznie szybciej niż w pozostałych regułach wraz ze wzrostem n — można to potwierdzić, porównując wskazanie błędu między metodami przy tym samym n.
Co dokładnie kontroluje suwak liczby podziałów n?
Ustawia on, na ile pasków o równej szerokości zostaje podzielony przedział [a, b], przy czym szerokość każdego paska wynosi Δx = (b−a)/n. Ten symulator pozwala zmieniać n od 1 do 200: przy małych n widać kilka grubych prostokątów wyraźnie odbiegających od kształtu krzywej, a przy dużych n paski stają się tak cienkie, że dla funkcji gładkiej zacieniowany obszar wizualnie zlewa się z rzeczywistym polem pod krzywą.
Dlaczego błąd maleje wraz ze wzrostem n?
Gdy Δx = (b−a)/n maleje, każdy pasek obejmuje krótszy, bardziej „prosty” fragment krzywej, dzięki czemu próbkowana wysokość lepiej przybliża rzeczywistą średnią wysokość paska. Tempo zależy od reguły: sumy lewa i prawa zbiegają w przybliżeniu proporcjonalnie do Δx, środkowa i trapezów — proporcjonalnie do Δx², a reguła Simpsona dla funkcji gładkich — proporcjonalnie do Δx⁴, dlatego przesunięcie suwaka n w górę zmniejsza błąd reguły Simpsona dramatycznie szybciej niż błąd sum lewej czy prawej.