PL 
EnglishDomyślny
Українська🔄 Portret fazowy
Dostrajaj parametry dwuwymiarowego układu dynamicznego i obserwuj, jak trajektorie w polu wektorowym spiralują, krążą lub uciekają od punktów stałych.
O tej symulacji
Ta symulacja renderuje płaszczyznę fazową dwuwymiarowego układu dynamicznego w całości na GPU za pomocą shadera GLSL w stylu Line-Integral-Convolution (LIC): szum zniekształcony przez domenę jest rozmazywany wzdłuż lokalnego kierunku pola wektorowego, tworząc płynące linie prądu zamiast dyskretnych strzałek. Kolor koduje lokalną prędkość |(f, g)|, a miękka poświata oznacza punkty stałe, w których prędkość zanika. Wbudowano pięć układów — dostrajalną liniową macierz 2×2, oscylator van der Pola, tłumione wahadło, drapieżnik-ofiara Lotki-Volterry oraz oscylator Duffinga z podwójną studnią — z których każdy ujawnia inny rodzaj długoterminowego zachowania, od spirali i siodeł po prawdziwie nieliniowy cykl graniczny.
🔬 Co pokazuje
Pole prędkości (dx/dt, dy/dt) = (f(x,y), g(x,y)) obliczane w każdym pikselu, wizualizowane jako animowane linie prądu, których kolor przechodzi od niebieskiego przez błękitny i żółty do czerwonego wraz ze wzrostem prędkości. Punkty stałe, w których pole wynosi zero, delikatnie się jarzą. Dla układu liniowego odczyt na żywo klasyfikuje punkt równowagi — siodło, węzeł, spirala lub centrum — bezpośrednio na podstawie śladu i wyznacznika macierzy.
🎮 Jak korzystać
Wybierz układ z listy, a następnie przeciągaj Parametr a i Parametr b, aby zmieniać jego dynamikę: dla przypadku liniowego przesuwają one punkt równowagi między stabilnymi/niestabilnymi spiralami, węzłami, siodłem i centrum; dla van der Pola parametr a to nieliniowe tłumienie μ; dla wahadła to tłumienie i moment napędowy; dla Lotki-Volterry to tempo wzrostu ofiar i tempo śmierci drapieżników; dla Duffinga to tłumienie. Prędkość przepływu kontroluje, jak szybko animują się linie prądu, a Reset przywraca domyślne ustawienia wybranego układu.
💡 Czy wiesz, że?
Oscylator van der Pola, wynaleziony w latach 20. XX wieku do modelowania obwodów lampowych, ustala się na cyklu granicznym — pojedynczej zamkniętej pętli, do której trajektorie spiralują zarówno od wewnątrz, jak i z zewnątrz. Żaden układ liniowy, niezależnie od tego, jak dostroisz jego macierz, nie może wytworzyć takiego zachowania: cykle graniczne są zjawiskiem czysto nieliniowym, a równanie van der Pola stało się jednym z fundamentalnych przykładów w badaniach nad oscylacjami samopodtrzymującymi się.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest portret fazowy i co przedstawiają linie prądu?
Portret fazowy to obraz przestrzeni stanów układu dynamicznego, pokazujący, jak ewoluuje każdy możliwy punkt startowy. W tej symulacji każdy punkt na płaszczyźnie ma wektor prędkości (dx/dt, dy/dt) określony przez równania wybranego układu, a płynące linie prądu to renderowanie tego pola wektorowego metodą Line-Integral-Convolution — szum rozmazany wzdłuż lokalnego kierunku przepływu — dzięki czemu można od razu dostrzec ogólny wzorzec ruchu, zamiast śledzić pojedynczą trajektorię.
Jak klasyfikuje się punkt stały jako siodło, węzeł, spirala lub centrum?
Dla układu liniowego z macierzą [[a, b], [-b, a]] śladem jest T = 2a, a wyznacznikiem D = a² + b². Jeśli D < 0, początek układu jest siodłem (niestabilnym w jednym kierunku, stabilnym w drugim); jeśli D > 0 i T² < 4D, jest to spirala, stabilna gdy T < 0 i niestabilna gdy T > 0; jeśli D > 0 i T² > 4D, jest to węzeł; a jeśli T = 0 przy D > 0, jest to centrum otoczone zamkniętymi orbitami. Panel odczytu oblicza tę klasyfikację na żywo w miarę przesuwania suwaków.
Czym oscylator van der Pola różni się od prostego oscylatora tłumionego?
Standardowy tłumiony oscylator liniowy zawsze spiralnie zmierza do pojedynczego punktu równowagi i tam pozostaje. Równanie van der Pola ẋ = y, ẏ = μ(1−x²)y − x ma tłumienie, które zmienia znak w zależności od amplitudy: pobudza małe oscylacje i tłumi duże, więc trajektorie zarówno od wewnątrz, jak i z zewnątrz zbiegają do tej samej zamkniętej orbity, zwanej cyklem granicznym. Ta samoregulująca się amplituda oscylacji sprawia, że model van der Pola opisuje bicie serca, obwody lampowe i inne oscylatory samopodtrzymujące się.
Co przedstawiają zamknięte orbity w układzie Lotki-Volterry?
Równania Lotki-Volterry ẋ = a·x − x·y, ẏ = x·y − b·y modelują parę drapieżnik-ofiara: ofiary (x) rosną wykładniczo w tempie a przy braku drapieżników, a drapieżniki (y) wymierają w tempie b bez ofiar do zjedzenia. Zamknięte orbity otaczające punkt współistnienia (b, a) oznaczają, że populacje cyklicznie się zmieniają, zamiast ustalać się na stałej wartości — wzrost liczby ofiar karmi wzrost liczby drapieżników, co następnie zmniejsza liczbę ofiar, co głodzi drapieżników, i cykl się powtarza, nigdy nie zbiegając do równowagi.
Dlaczego oscylator Duffinga ma dwie osobne stabilne spirale?
Układ Duffinga ẋ = y, ẏ = −b·y + x − x³ opisuje ruch w potencjale z podwójną studnią, fizycznie jak kulka, która może osiąść w jednym z dwóch zagłębień oddzielonych garbem. Człon sześcienny −x³ tworzy dwa symetryczne stabilne punkty równowagi przy x = ±1 (każdy będący spiralą, gdy tłumienie b > 0) oraz niestabilne siodło w początku układu, oddzielające ich baseny przyciągania, więc to, na której spirali skończy trajektoria, zależy wrażliwie od jej punktu startowego względem siodła.