PL 
EnglishDomyślny
Українська➿ Krzywe Lissajous 3D — harmoniczne węzły
Trzy prostopadłe oscylatory splecione w krzywą Lissajous w 3D. Dobieraj częstotliwości a:b:c i fazy, obracaj cieniowaną głębią chmurę i patrz, jak małe względnie pierwsze stosunki zamykają się w harmoniczne węzły.
O tej symulacji
Ta symulacja rysuje trójwymiarową krzywą Lissajous — trzy niezależne sinusoidalne oscylatory wzdłuż osi x, y i z, każdy z własną całkowitą częstotliwością (a, b, c) i przesunięciem fazowym (δx, δy, δz), połączone w jedną krzywą przestrzenną: x = A·sin(a·t + δx), y = A·sin(b·t + δy), z = A·sin(c·t + δz). Ponieważ częstotliwości są liczbami całkowitymi, krzywa zawsze zamyka się po jednym okresie parametru t, splatając się w węzeł lub kratę, której kształt zależy wyłącznie od stosunku a : b : c oraz przesunięć fazowych. Powstała chmura punktów jest obracana w 3D i renderowana za pomocą prostej kamery perspektywicznej, a cieniowanie zależne od odległości daje wrażenie głębi. Ustawienie c = 0 spłaszcza krzywą do płaskiej płaszczyzny, odtwarzając klasyczną dwuwymiarową figurę Lissajous znaną z oscyloskopu.
🔬 Co pokazuje
Zamkniętą krzywą 3D generowaną przez trzy prostopadłe oscylatory harmoniczne o stosunku częstotliwości a : b : c i przesunięciach fazowych δx, δy, δz. Małe, względnie pierwsze stosunki całkowite (jak 3:2:1 czy 5:4:3) tworzą schludne, splecione węzły i kraty, natomiast wspólny czynnik upraszcza stosunek, a c = 0 spłaszcza krzywą do dwuwymiarowego wzoru XY znanego z oscyloskopu.
🎮 Jak korzystać
Przeciągaj płótno (myszą lub dotykiem), aby obracać kamerę wokół krzywej, albo zostaw włączone Auto-rotate, by obracała się sama. Użyj suwaków częstotliwości a, b, c oraz suwaków fazy δx/δy/δz, by przekształcić węzeł, przeskocz od razu do wybranego kształtu za pomocą presetów Trefoil, Lattice, Weave, Figure-8, XY 2:1 lub Circle, przełączaj się między renderowaniem Line i Points, wybierz schemat kolorów oraz dostosuj liczbę próbek, by wymienić płynność na wydajność.
💡 Czy wiesz, że...
To dokładnie ta sama matematyka, która stoi za trybem XY analogowego oscyloskopu i za dawną maszyną rysującą zwaną harmonografem — dwa pióra (lub wiązki) napędzane wahadłami lub sygnałami o nieco różnych częstotliwościach kreślą tę samą rodzinę krzywych. Dodanie trzeciego oscylatora na osi z po prostu unosi płaską dwuwymiarową figurę Lissajous w spleciony węzeł 3D.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest krzywa Lissajous?
Krzywa (lub figura) Lissajous to tor punktu, którego współrzędne oscylują sinusoidalnie, każda z własną częstotliwością i fazą. Przy dwóch oscylatorach otrzymujesz płaską krzywą 2D, podobną do wzoru na ekranie oscyloskopu; dodanie trzeciego oscylatora na prostopadłej osi tworzy przestrzenną krzywą 3D, jak w tej symulacji.
Dlaczego krzywe w tej symulacji zawsze się zamykają?
Częstotliwości a, b i c w tej symulacji są ograniczone przez suwaki do liczb całkowitych, a każda krzywa o całkowitych stosunkach częstotliwości powtarza się dokładnie po jednym okresie parametru t od 0 do 2π. Gdyby częstotliwości były niewspółmiernymi wielokrotnościami siebie, krzywa nigdy dokładnie by się nie powtórzyła i z czasem gęsto wypełniłaby dostępną przestrzeń zamiast zamknąć się w węzeł.
Co tak naprawdę kontrolują stosunek częstotliwości i faza?
Stosunek a : b : c ustala, ile oscylacji wykonuje każda oś w jednym cyklu, co decyduje o topologii krzywej — na przykład 1:1:1 daje prostą pętlę przypominającą okrąg, podczas gdy 5:4:3 splata znacznie bardziej złożoną kratę. Przesunięcia fazowe δx, δy, δz przesuwają każdy oscylator w czasie względem pozostałych, obracając i przechylając pętle bez zmiany liczby przecięć krzywej samej ze sobą.
Co się dzieje, gdy częstotliwość z zostanie ustawiona na 0?
Ustawienie c = 0 całkowicie usuwa trzeci oscylator, więc każdy punkt ma z = 0, a krzywa zapada się do płaskiej płaszczyzny. Odtwarza to klasyczną dwuwymiarową figurę Lissajous widoczną na analogowym oscyloskopie, gdy dwie przesunięte w fazie fale sinusoidalne sterują jego płytkami poziomymi i pionowymi, dlatego symulacja zawiera preset „XY 2:1” zbudowany dokładnie w ten sposób.
Jak krzywa 3D jest zamieniana na obraz 2D na ekranie?
Każdy punkt jest najpierw obracany wokół osi pionowej i poziomej zgodnie z bieżącymi kątami widoku, a następnie rzutowany za pomocą prostej kamery perspektywicznej: punkty dalsze od widza są pomniejszane i rysowane ciemniej, a bliższe — jaśniej i większe. Przeciąganie płótna bezpośrednio zmienia kąty obrotu, co pozwala okrążyć krzywą i obejrzeć jej trójwymiarową strukturę z dowolnej strony.